Berechne charakteristische Polynom und alle Eigenwerten

Question

Aufgabe:

Berechne charakteristische Polynom und alle Eigenwerten

Problem/Ansatz:

Hallo :)

Ich habe folgende Aufgabe vor mir liegen und komme nicht ganz mit dem a,b ∈ℝ zurecht also das Grundprinzip wie man das charakteristische Polynom usw rechnet weiß ich aber bei der Aufgabe komme ich nicht weiter :/

Kann mir jemand Anhand der Aufgabe erklären wie ich solch eine Aufgabe rechne ?

Text erkannt:

1. Sei \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) definiert durch \( f(x)=A x, \) wobei
$$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a \\ 0 & 0 & b \end{array}\right) \quad \text { und } \quad a, b \in \mathbb{R} $$
a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom von \( f \).
b) Bestimmen Sie alle Eigenwerte und für jeden Eigenwert die algebraische und geometrische Vielfachheit in Abhängigkeit der Parameter \( a \) und \( b \).
c) Untersuchen Sie, für welche Wahl der Parameter \( f \) diagonalisierbar ist.

Answer 1

a)

Du ziehst in der Hauptdiagonale einfach mal k ab und bildest die Determinante. z.B. mit der Regel von Sarrus.

DET([1 - k, 1, 0; 0, 1 - k, a; 0, 0, b - k]) = (b - k)·(k - 1)^2

Comments

Also muss ich a und b nicht vorher berechnen sondern das ganz normale Verfahren wie zb sarrusregel anwenden

Oder habe ich das jetzt falsch verstanden ?

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Das hast du richtig verstanden. Habt ihr euch nicht notiert wie man das charakteristische Polynom bestimmt?