Integrationsgrenzen substituieren

Question

Beispiel aus dem Papula Buch: Es geht mir nur um die Integrationsgrenzen.

I=Integral x∫(1+x^2) dx         (obere Grenze ist 1 und die untere Grenze ist 0)

Untere Grenze x=0     u=1+0^2=1

Obere Grenze x=1      u=1+1^2=2

Die neuen Grenzen des Integrals lauten:

Obere Grenze=2

untere Grenze=1              
Nun kann ich dem Papula Buch keine Frage stellen. Deshalb bitte ich euch mir das genauer zu erläutern.

Kann ich aus diesem Beispiel entnehmen, dass man bei der Integrationssubstitution die Grenzen des Integrals immer um 1 addiert und die tatsächliche Grenze quadriert bzw. hoch 2 nimmt?

und daraus die neuen Grenzen bekommt?

Da ich die Grenzen noch nie substituiert habe, frage ich mich welcher Sinn dahinter steckt?

Comments

Tolle Frage, mic!

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Answer 1

∫ 0 bis 10 (5x+2)^2 dx

Also normal bräuchte man hier ja nicht mal substituieren. Wenn ich das aber machen will dann z.B.

z = 5x+2

dz/dx = 5
dx = dz/5

Wenn ich jetzt substituiere muss ich alles was mit x zu tun hat durch das mit z ersetzen. Dazu gehören auch die Grenzen.
Alte untere Grenze 0
Neue untere Grenze z = 5*0+2 = 2

Alte obere Grenze 10
Neue obere Grenze z = 5*10+2 = 52

∫ 2 bis 52 z^2 dz/5 = ∫ 2 bis 52 1/5 * z^2 dz = [1/15 * z^3] 2 bis 52 = 9373

Ich könnte hier allerdings auch resubstituieren also statt z wieder 5x+2 einsetzen

[1/15 * (5x+2)^3] 0 bis 10 = 9373

Achtung. Dann braucht man die Grenzen nicht zu substituieren. Denn jetzt setzt man ja wieder für x ein.


Ich hoffe du konntest das nachvollziehen und verstehen.

Comments

achso dann braucht man das innere in der Klammer nicht mehr zurück substituieren.

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Richtig. Man rechnet das Integral dann vor der Rücksubstitution aus. Das geht aber nur wenn man Integrationsgrenzen hat. Wenn eine Stammfunktion gesucht wird muss man wieder rücksubstituieren.