Gewinnfunktion aufstellen, Funktion 3. Grades, Steckbriefaufgabe

Question

Hi, ich hab folgende Aufgabe: 

Die Gewinnfunktion eines Unternehmens ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades mit den folgenden Eigenschaften:

 Die fixe Kosten des Unternehmens betragen 17 GE. 

Die Gewinnschwelle liegt bei x = 2 ME. 

Die gewinnmaximale Produktionsmenge ist 4 ME. Dabei wird ein maximaler Gewinn in Höhe von 11 GE erzielt. 

Stellen sie die Gewinnfunktion auf. 

Mein vorgehen bisher: 

gegeben: 

d = 17 GE

N1(2|0) 

Extrempunkt(?): (4|11) 

G(x)= ax³ + bx² + cx + d
G`(x) = 3ax² + 2bx + c
G´´(x)=6ax + 2b 

1. G(17) = d = 17

2. G(2)= a * 2³ + b*2² + c*2 + 17 = 0

Weiter weiß ich nicht, wenn es bis dahin richtig ist. 

.

Answer 1

Hallo Gast ie1122,

die Fixkosten sollten bei 0 Einheiten keinen Gewinn zur Folge haben. Vorzeichen!

Zusätzliche Bedingungen die Dir noch fehlen:

Maximaler Gewinn bei (4|11) beinhaltet eine Aussage über die Ableitung f' an der Stelle 4: f'(4)=0.

Auch gibt Dir dieser Punkt noch den Funktionswert an der Stelle 4: f(4)=11.

Damit hast Du dann 4 Gleichungen und solltest lösen können.

Gruß

Comments

Hi, habs bisher noch nicht geschafft. Bin jetzt soweit : 

I. ax³ + bx² + cx + 17 = 0 

II. 6a + 4b + 2c + d= 0

III. 24a + 8b + c = 0

IV. 12a + 8b + 4c + d = 11 

Bin echt am verzweifeln 

---

Grundannahme \( \)

\[ f(x)= ax^3 + bx^2 + cx + d \]

\[ f'(x) = 3a x^2+ 2bx + c \]

Also aus dem Fixkosten folgt bei 0 ME gibt es 17GE Kosten! Also Gewinn -17!

\[ f(0)=-17= a \cdot 0^3 + b \cdot 0^2 + c \cdot 0 + d \]

\[ d=-17 \]

aus Gewinnschwelle x= 2 ME folgt

\[ f(2)=0 = a \cdot 2^3+b \cdot 2^2 +c \cdot 2 -17 \]

\[ 17 = 8a+ 4b +2c\]

aus Maximum bei x= 4 ME mit 11GE folgt

\[ f(4)= 11 = a \cdot 4^3+b \cdot 4^2 +c \cdot 4 -17 \]

\[ 28 = 64 a+ 16b +4c \]

und

\[ f'(4)= 0 = 3a\cdot  4^2+ 2b \cdot 4 + c \]

\[ 0 = 48 a+ 8b + c \]

Damit hast Du 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.

\[ 17 = 8a+ 4b +2c \]

\[ 28 = 64 a+ 16b +4c \]

\[ 0 = 48 a+ 8b + c \]

Gruß

p.s. Du hast folgenden Fehler beim Berechnen häufiger gemacht: \( 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 \neq 12 = 3 \cdot 4 \)

---

danke für die Mühe, kannst du mir helfen die zu lösen? 

17=8a+4b+2c  | * 2 

34=16a+8b+4c    Jetzt die untere Variable killen ? 

also dann: 

I. 17=8a+4b+2c

II. 28=64a+16b+4c

III. 0=48a+8b+c

IV. 34 = -32a + 1c       | Jetzt  die a variable killen? dafür II. geteilt durch 2 und danach + IV. 

IV. 48= 5c       | : 5

c = 9,6 

jetzt weiß ich auch nicht weiter

---

versuche es lieber systematisch:

I. \( 17 = 8a + 4b + 2c \)

II. \( 7 = 16a + 4b + c \) hier schon durch 4 geteilt.

III. \( 0 = 48a + 8 b+ c \)

Erstmal das c weg

I.a = I. - 2 III. 

I.a \( 17 = - 88a - 12 b \)

II.a = II. - III.

II.a \( 7 = -32a  -4b \)

Jetzt das b eliminieren

I.a - 3 II.a

\( -4 = 8a \)

\( a =-\frac{1}{2} \)

Zurück einsetzen.

\( 7 = - 32 \cdot \frac{-1}{2} - 4b = 16 - 4b \)

\( b = \frac{9}{4} \)

\( c = -48 \frac{-1}{2} - 8 \frac{9}{4} = 24 - 18 = 6 \)

\( f(x) = -\frac{1}{2} x^3 + \frac{9}{4} x^2 + 6 x - 17 \)

Gruß

~plot~ - 1/2x^3 + 9/4 x^2+6x-17;[[-1|7|-20|12]]~plot~

Answer 2

Hier meine Berechnungen

d = -17

N1(2|0)

Extrempunkt : (4|11)
G(x)= ax³ + bx² + cx + 17
G`(x) = 3ax² + 2bx + c

f ( 0 ) = -17
f ( 2 ) = 0
f ( 4 ) = 11
f ´ ( 4 ) = 0

d = -17
8a + 4b + 2c + d = 0
64a + 16b + 4c + d = 11
48a + 8b + c = 0

8a + 4b + 2c = 17
64a + 16b + 4c = 28
48a + 8b + c = 0


8a + 4b + 2c = 17  | * 2
16a + 8b + 4c = 34
64a + 16b + 4c = 28  | minus
------------------------------
-48a - 8b = 6


64a + 16b + 4c = 28
48a + 8b + c = 0  | * 4

64a + 16b + 4c = 28
192a + 32b + 4c = 0  | minus
------------------------------
-128a - 16b = 28


-48a - 8b = 6  | * 2
-128a - 16b = 28

-96a - 16b = 12 
-128a - 16b = 28 | minus
------------------------
32a = -16
a = -0.5

usw.

f(x) = -0,5·x^3 + 2,25·x^2 + 6·x - 17