Berechnen Sie die inverse Matrix der reellen Matrix ((1,2,-4)(3,-2,0)(-1,0,5)) und ((1,0,0,0)(2,1,0,0)…)

Question

Berechnen Sie die inverse Matrix der reellen Matrix:

(a)

\( \left(\begin{array}{ccc}{1} & {2} & {-4} \\ {3} & {-2} & {0} \\ {-1} & {0} & {5}\end{array}\right) \)

(b)

\( \left(\begin{array}{llll}{1} & {0} & {0} & {0} \\ {2} & {1} & {0} & {0} \\ {3} & {2} & {1} & {0} \\ {4} & {3} & {2} & {1}\end{array}\right) \)

Hinweis:

Satz 20.1 .3 (Ein praktisches Verfahren für die Berechnung von \( A^{-1} \) falls det \( A \neq 0 \) )
Sei \( A \in M(n, n, K) \) mit \( \det A \neq 0 . \) Forme die Matrix \( \left(A | E_{n}\right) \in M(n, 2 n, K) \) durch elementare Zeilenumtransformationen so um, dass im linken Teil die Einheitsmatrix steht. Dann steht im rechten Teil die Matrix \( A^{-1} \)

Beispiel:

Um die Inverse von \( \left(\begin{array}{ll}{1} & {2} \\ {3} & {4}\end{array}\right) \) zu berechnen, starten wir mit:
$$ \left(\begin{array}{ll|ll} {1} & {2} & {1} & {0} \\ {3} & {4} & {0} & {1} \end{array}\right) $$
Addition des \( (-3) \) -fachen der ersten Zeile zur Zweiten:
$$ \left(\begin{array}{cc|cc} {1} & {2} & {1} & {0} \\ {0} & {-2} & {-3} & {1} \end{array}\right) $$
Addition der zweiten Zeile zu Ersten:
$$ \left(\begin{array}{cc|cc} {1} & {0} & {-2} & {1} \\ {0} & {-2} & {-3} & {1} \end{array}\right) $$
Multiplikation der zweiten Zeile mit \( -1 / 2: \)
$$ \left(\begin{array}{cc|cc} {1} & {0} & {-2} & {1} \\ {0} & {1} & {\frac{3}{2}} & {-\frac{1}{2}} \end{array}\right) $$

Also ist die inverse Matrix \( \left(\begin{array}{cc}{-2} & {1} \\ {\frac{3}{2}} & {-\frac{1}{2}}\end{array}\right) \)

Comments

Hier mal ein Tipp:
Rechne das selbst und überprüfe Dein Ergebnis dann z. B. dort:

http://quickmath.com/webMathematica3/quickmath/matrices/inverse/basic.jsp

Answer 1

Um die Inverse Matrix zu bestimmen, wenden wir das Gauß-Verfahren wie im Beispiel an:

$$\begin{aligned} \phantom{\iff}&\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -4& 1&0&0\\ 3 & -2 & 0&0&1&0\\ -1 & 0 & 5&0&0&1 \end{array}\right)\\ \iff & \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -4& 1&0&0\\ 0 & -8 & 12&-3&1&0\\ -1 & 0 & 5&0&0&1 \end{array}\right) \\ \iff & \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -4& 1&0&0\\ 0 & -8 & 12&-3&1&0\\ 0 & 2 & 1&1&0&1 \end{array}\right)\\ \iff & \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -4& 1&0&0\\ 0 & 1 & \frac{-3}{2}&\frac38&\frac{-1}8&0\\ 0 & 2 & 1&1&0&1 \end{array}\right)\\ \iff & \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -4& 1&0&0\\ 0 & 1 & \frac{-3}{2}&\frac38&\frac{-1}8&0\\  0 & 0 & 4&\frac14&\frac14&1 \end{array}\right)\\ \iff & \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -4& 1&0&0\\ 0 & 1 & \frac{-3}{2}&\frac38&\frac{-1}8&0\\ 0 & 0 & 1& \frac{1}{16}& \frac{1}{16}&\frac14 \end{array}\right)\\ \iff & \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -4& 1&0&0\\ 0 & 1 &0&\frac{15}{32}&\frac{-1}{32}&\frac38\\ 0 & 0 & 1& \frac{1}{16}& \frac{1}{16}&\frac14 \end{array}\right)\\ \iff & \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0& \frac54&\frac14&1\\ 0 & 1 &0&\frac{15}{32}&\frac{-1}{32}&\frac38\\ 0 & 0 & 1& \frac{1}{16}& \frac{1}{16}&\frac14 \end{array}\right)\\ \iff & \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0& \frac5{16} & \frac5{16} & \frac14\\ 0 & 1 & 0 & \frac{15}{32} & \frac{-1}{32} & \frac38\\ 0 & 0 & 1& \frac{1}{16} & \frac{1}{16} & \frac14\end{array}\right) \end{aligned}$$

Das Ergebnis ist demnach $$\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -4\\ 3 & -2 & 0\\ -1 & 0 & 5\end{array}\right)^{-1}= \left(\begin{array}{ccc}\frac5{16} & \frac5{16} & \frac14\\ \frac{15}{32} & \frac{-1}{32} & \frac38\\ \frac{1}{16} & \frac{1}{16} & \frac14\end{array}\right).$$ Das Gauß-Jordan Verfahren kann man genauso auch für die zweite Matrix benutzen und bekommt dann als Ergebnis gerade $$\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0\\ 3 & 2 & 1 & 0\\ 4 & 3 & 2 & 1\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 0\\ 1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -2 & 1\end{array}\right).$$