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Berechnen Sie die inverse Matrix der reellen Matrix:

(a)

(124320105) \left(\begin{array}{ccc}{1} & {2} & {-4} \\ {3} & {-2} & {0} \\ {-1} & {0} & {5}\end{array}\right)

(b)

(1000210032104321) \left(\begin{array}{llll}{1} & {0} & {0} & {0} \\ {2} & {1} & {0} & {0} \\ {3} & {2} & {1} & {0} \\ {4} & {3} & {2} & {1}\end{array}\right)

Hinweis:

Satz 20.1 .3 (Ein praktisches Verfahren für die Berechnung von A1 A^{-1} falls det A0 A \neq 0 )
Sei AM(n,n,K) A \in M(n, n, K) mit detA0. \det A \neq 0 . Forme die Matrix (AEn)M(n,2n,K) \left(A | E_{n}\right) \in M(n, 2 n, K) durch elementare Zeilenumtransformationen so um, dass im linken Teil die Einheitsmatrix steht. Dann steht im rechten Teil die Matrix A1 A^{-1}


Beispiel:

Um die Inverse von (1234) \left(\begin{array}{ll}{1} & {2} \\ {3} & {4}\end{array}\right) zu berechnen, starten wir mit:
(12103401) \left(\begin{array}{ll|ll} {1} & {2} & {1} & {0} \\ {3} & {4} & {0} & {1} \end{array}\right)
Addition des (3) (-3) -fachen der ersten Zeile zur Zweiten:
(12100231) \left(\begin{array}{cc|cc} {1} & {2} & {1} & {0} \\ {0} & {-2} & {-3} & {1} \end{array}\right)
Addition der zweiten Zeile zu Ersten:
(10210231) \left(\begin{array}{cc|cc} {1} & {0} & {-2} & {1} \\ {0} & {-2} & {-3} & {1} \end{array}\right)
Multiplikation der zweiten Zeile mit 1/2 :  -1 / 2:
(1021013212) \left(\begin{array}{cc|cc} {1} & {0} & {-2} & {1} \\ {0} & {1} & {\frac{3}{2}} & {-\frac{1}{2}} \end{array}\right)

Also ist die inverse Matrix (213212) \left(\begin{array}{cc}{-2} & {1} \\ {\frac{3}{2}} & {-\frac{1}{2}}\end{array}\right)

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Hier mal ein Tipp:
Rechne das selbst und überprüfe Dein Ergebnis dann z. B. dort:

http://quickmath.com/webMathematica3/quickmath/matrices/inverse/basi…

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Um die Inverse Matrix zu bestimmen, wenden wir das Gauß-Verfahren wie im Beispiel an:

    (124100320010105001)    (1241000812310105001)    (1241000812310021101)    (124100013238180021101)    (12410001323818000414141)    (12410001323818000111611614)    (12410001015321323800111611614)    (1205414101015321323800111611614)    (1005165161401015321323800111611614)\begin{aligned} \phantom{\iff}&\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -4& 1&0&0\\ 3 & -2 & 0&0&1&0\\ -1 & 0 & 5&0&0&1 \end{array}\right)\\ \iff & \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -4& 1&0&0\\ 0 & -8 & 12&-3&1&0\\ -1 & 0 & 5&0&0&1 \end{array}\right) \\ \iff & \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -4& 1&0&0\\ 0 & -8 & 12&-3&1&0\\ 0 & 2 & 1&1&0&1 \end{array}\right)\\ \iff & \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -4& 1&0&0\\ 0 & 1 & \frac{-3}{2}&\frac38&\frac{-1}8&0\\ 0 & 2 & 1&1&0&1 \end{array}\right)\\ \iff & \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -4& 1&0&0\\ 0 & 1 & \frac{-3}{2}&\frac38&\frac{-1}8&0\\ 0 & 0 & 4&\frac14&\frac14&1 \end{array}\right)\\ \iff & \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -4& 1&0&0\\ 0 & 1 & \frac{-3}{2}&\frac38&\frac{-1}8&0\\ 0 & 0 & 1& \frac{1}{16}& \frac{1}{16}&\frac14 \end{array}\right)\\ \iff & \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -4& 1&0&0\\ 0 & 1 &0&\frac{15}{32}&\frac{-1}{32}&\frac38\\ 0 & 0 & 1& \frac{1}{16}& \frac{1}{16}&\frac14 \end{array}\right)\\ \iff & \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0& \frac54&\frac14&1\\ 0 & 1 &0&\frac{15}{32}&\frac{-1}{32}&\frac38\\ 0 & 0 & 1& \frac{1}{16}& \frac{1}{16}&\frac14 \end{array}\right)\\ \iff & \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0& \frac5{16} & \frac5{16} & \frac14\\ 0 & 1 & 0 & \frac{15}{32} & \frac{-1}{32} & \frac38\\ 0 & 0 & 1& \frac{1}{16} & \frac{1}{16} & \frac14\end{array}\right) \end{aligned}

Das Ergebnis ist demnach (124320105)1=(5165161415321323811611614).\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -4\\ 3 & -2 & 0\\ -1 & 0 & 5\end{array}\right)^{-1}= \left(\begin{array}{ccc}\frac5{16} & \frac5{16} & \frac14\\ \frac{15}{32} & \frac{-1}{32} & \frac38\\ \frac{1}{16} & \frac{1}{16} & \frac14\end{array}\right). Das Gauß-Jordan Verfahren kann man genauso auch für die zweite Matrix benutzen und bekommt dann als Ergebnis gerade (1000210032104321)1=(1000210012100121).\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0\\ 3 & 2 & 1 & 0\\ 4 & 3 & 2 & 1\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 0\\ 1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -2 & 1\end{array}\right).

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