Wachstumsrate Integralrechnung

Question

Es gilt doch:

N (0)=60

N' (0)=1

N' (5) = 0,951

Warum ist das aber so?

Im Text steht doch : Die Wachstumsrate beträgt ja zu Beginn 1, dann müsste doch gelten N (0)=1??

Was gibt die normale Funktion an und die erste Ableitung?

Answer 1

N ´( t ) = a * e^{-b*t}

N ´( 0) = a * e^{-b*0} = 1 Mio / Jahr
N ´( 0) = a * 1 = 1
a = 1

N ´( 5 ) = 1 * e^{-b*5} = 0.951
e^{-b*5} = 0.951 | ln
-b * 5 = ln ( 0.951 )
b = 0.01

N ´( t ) = e^{-0.01*t}

Dies ist die Wachstumsrate ( 1.Ableitung von N ( t  )

Stammfunktion
-100 * e^{-0.01*t} 
Probeweise einmal ableiten
[ -100 * e^{-0.01*t} ] ´ = -100 * e^{-0.01*t} *  ( -0.01  )
= e^{-0.01*t} | bingo

-100 * e^{-0.01*x}
Integralfunktion
[ -100 * e^{-0.01*x} ] ₀ ^t
100 -  100 * e^{-0.01*t}

Dies ist der insgesamte Zuwachs in Mio Einwohner zum Zeitpunkt t

Insgesamt sind ( Bestandsfunktion )
Bestand + Zuwachs
N ( t ) = 60  + 100 -  100 * e^{-0.01*t}
Einwohner ( in Mio ) vorhanden.

Geht gleich weiter.

Comments

Verdoppelung

N ( t ) = N ( 0 ) * 2 = 60 * 2 = 120 Mio
t = 91.629 Jahre

lim t −> ∞ [ N ( t ) ] = 60  + 100 -  100 * e^-0.01*t
-0.01*t  wird zu  -∞
e^-0.01*t = 0
100 * e^-0.01*t  = 0
Zusammen 60 + 100 + 0 = 160 Mio

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~plot~ 60 +100- 100*e^{-0,01*x};[[0|500|0|170]] ~plot~

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Danke für die Rechnungen, aber leider war das gar nicht meine Fragen

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Ich konnte meine eigene Frage noch beantworten.

Nun bin ich dabei eine ähnliche Aufgabe zu lösen.

Meine Lösungen a) nach 69 Jahren b) 0,79 Personen/Jahr

Stimmt das?/Kannst du das bestätigen?

Was ist bei c) zu tun?

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N ´( t  ) = 0.5

[ N ( 50 ) - N ( 0 ) ] / 50

N ( 20 ) - N ( 10 )

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Kannst du mir Aufgabe c) etwas erläutern, weil ich die Frage nicht verstehe und somit den Ansatz auch nicht ganz

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Ich verstehe halt nicht wieso man für t 20 und 10 einsetzt

Danke

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Das 2.Jahrzehnt ist die Zeit zwischen t = 10 Jahre und t = 20 Jahre.

Bevölkerungszuwachs = Bevölkerung bei t = 20 minus Bevölkerung bei t = 10

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Dankeschön.

Wie schreibe ich das mathematisch auf, alsowas kommt vor N (20)-N (10)?

Also bsp. A=N (20)-N (10)

Und was ist die Einheit?

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Definition
Z = Bevölkerungszuwachs im 2.Jahrzehnt in MIo
Δ N_20,10 sieht noch professioneller aus.

Z  = N ( 20 ) - N ( 10 )

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Okay danke, die Einheit wäre dann Personen oder?

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Personen / Einwohner / Norddeutsche

Falls du andere / weitere Fragen hast dann wieder einstellen.