UVR Kriterien an einem Beispiel:

Question

Hi alle miteinander,

ich kenne zwar die UVR-Kriterien, bin aber unsicher bei der folgenden Aufgabe.
Wie kann ich hier zeigen, dass W₁ und W₂ UVR'e sind?

"K Körper, V:= Mat_2x2(K) der VR der 2x2-Matrizen über K.
A:= (1 1) aus V und A':= A^t = (1 0) aus V.
      (0 1)                               (1 1)
und W₁:= {B aus V | BA = AB} und W₂:= {B aus V| BA' = A'B}".

Es wäre echt super wenn mir jemand vorrechnen könnte, wie man zeigt,
dass W₁ und W₂ UVR'e sind, da ich bisher kein richtiges Ergebnis
(trotz Hilfe der UVR-Kriterien) zustande gebracht habe.

LG Akai

Answer 1

Hallo Akai,

das ganze kann man ganz mechanisch nur mit den UVR-Kriterien und bekannten Rechenregeln für Matrizzen nachrechnen:

1) \(E_2 \in W_1\)

2) \(B, C \in W_1: \quad (B+C) \cdot A = BA + CA = AB + AC = A \cdot (B+C) \Rightarrow (B+C) \in W_1\)

3) \(\lambda \in \mathbb{K}, B \in W_1: \lambda (B A) =\lambda (AB) =A (\lambda B) \Rightarrow \lambda B \in W_1\).

 Wie du siehst spielt es keinerlei Rolle welche Matrix \(A\) gewählt wurde. Dadurch, dass du in der Aufgabe \(A\) gegeben hast, kannst du natürlich auch hingehen und erstmal die Elemente von \(W_1\) charakterisieren, sprich darstellen wie diese Elemente aussehen und wovon diese Darstellung abhängig ist. Dann kannst du einfach argumentieren, dass die Matrizen die natürlich in 1), 2) und 3) auftauchen eine solche Form haben und dementsprechend die obigen Folgerungen gelten.

Gruß

Comments

Hi yakyu, vielen Dank für die tolle Beschreibung!

Jetzt habe ich verstanden wie man vorgeht.

LG Akai