die Nullstellen der trigonometrischen funktion

Question

Ich habe hier einige Aufgaben bei denen ich einfach nicht auf die richtigen Lösungen komme.

Es sollen die Nullstellen und die Periode der Trigonometrischen Funktionen bestimmt werden:

F(x)= cos(x+Pi/2) und g(x)=cos(pi*x+2pi) und

h(y)=2+1/2sin(x-pi/4)

Über Hilfe und Änsätze zur Rechnung wäre ich sehr dankbar !!

Answer 1

Funktionstransformationen. Gegeben ist eine Funktion f(x).

• f(x+a) verschiebt f um a nach links.
• f(a·x) streckt die Funktion entlang der x-Achse um den Faktor 1/a.
• f(x)+a verschiebt die Funktion um a nach oben.
• a·f(x) streckt die Funktion entlang der y-Achses um den Faktor a.

Das gilt für alle Funktionen, nicht nur für trigonometrische.

Cosinus. cos(x) hat Periode 2π und Nullstellen bei π·(2n+1)/2 für jede n∈ℤ.

cos(x+π/2) hat immer noch Periode 2π, weil nicht entlang der x-Achse gestreckt wurde. Allerdings wurde die Funktion nach links verschoben, wodurch sich die Nullstellen ändern.

cos(πx+2π) wurde um den Faktor 1/π gestreckt. Dadurch werden alle Nullstellen und die Periode mit dem Faktor 1/π multipliziert. Danach wurde die Funktion um 2π nach links verschoben, was noch mal was an den Nullstellen ändert, aber nichts mehr an der Periode.

Sinus. sin(x) hat Periode 2π und Nullstellen bei nπ für jede n∈ℤ.

Für 2+1/2sin(x-π/4) wurde die Sinusfunktion um π/4 nach links verschoben, dann entlang der y-Achse gestreckt und zum Schluss um 2 nach oben verschoben.

Comments

Vielen vielen Dank!

Das hat mir wirklich sehr geholfen, aber leider weiß ich noch immer nicht recht genau wie ich die Nullstellen der Funktionen berechnen soll.

Wenn du mir noch damit helfen könntest wäre ich super dankbar !!

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Dass die Nullstellen der Kosinusfunktion bei x =  π·(2n+1)/2 n∈ℤ und die der Sinusfunktion bei x =  πn n∈ℤ liegen musst du auswendig lernen oder dir anhand des Verlaufs der Funktion herleiten können. Dieses Wissen kannst du dann so verwenden, um die Nullstellen von transformirten Funktionen zu berechnen:

cos(x+π/2) = 0

⇔ x+π/2 = π·(2n+1)/2    n∈ℤ

⇔ x = π·(2n+1)/2 -π/2    n∈ℤ

Mehr gibt es hier nicht zu rechnen.

2+1/2sin(x-π/4) = 0

⇔ 1/2sin(x-π/4) = -2

⇔ sin(x-π/4) = -4

Die Funktion hat keine Nullstellen, da -4 außerhalb des Wertebereichs der Sinusfunktion liegt.

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Dank sehr du warst mir wirklich eine große Hilfe !!

Ich habe es auch auch immer so gerechnet aber mit x=2kpi dort liegen die Nullstellen, ich hatte mal gelesen es muss so sein.

Ich hab auch einige Aufgabe so gerechnet die zwar anders gestellt waren, aber das Ergebnis war richtig z.B sin(-4x)=0 da bin ich mit 2kpi weiter gekommen.

Aber dennoch danke sehr, bin zwar ein wenig verwirrt wo ich welches nehmen muss aber du warst trotzdem sehr hilfreich !! ☺️

Answer 2

F(x)= cos(x+Pi/2)

Nulstellen  wenn x+pi/2  =  n*pi+pi/2  mit n aus Z

also  x = n*pi

und g(x)=cos(pi*x+2pi)

wenn     pi*x+2pi  =  n*pi+pi/2  mit n aus Z

                 pi*x =  n*pi - 3pi/2      |: pi

                    x =    n - 3/2   oder einfach   n+1/2

und   h(y)=2+1/2sin(x-pi/4)

ist ein Scherz, hängt gar nicht von y ab.