Ein Schwimmring hat innen den Durchmesser 50cm, aussen 80cm. Volumen, Oberfläche…

Question

a) Ein Schwimmring hat innen den Durchmesser \( 50 \mathrm{cm}, \) außen \( 80 \mathrm{cm} . \) Ein anderer Ring hat innen den Durchmesser außen \( 88 \mathrm{cm} \). Welcher der beiden Ringe hat den größeren Rauminhalt, welcher die größere Oberfläche?

b) Welchen äußeren Durchmesser hat ein Ring mit innerem Durchmesser 30 cm, der den Rauminhalt 2 Liter hat?

Comments

Darst du irgendwelche Formeln verwenden oder musst du die herleiten via Integration oder so?

Die Umrechnung für Rauminhalt: 2 Liter = 2 dm^3 = 2000 cm^3

---

Das soll wie ich es verstanden habe mit einer Kreisringformel gemacht werden. Ich habe aber gerade keinen Plan. Ich muss da auch erst mal nachdenken.

Answer 1

Hm. Rechts am Rand steht man soll das wie ein Kreisring betrachten. Das ist mir unklar. Denn eigentlich ist ein Kreisring eine Fläche und was gemeint ist, ist ja ein Torus.

Ich berechne das hier mal komplett mit den Formel für einen Torus wie er unter http://www.mathematische-basteleien.de/torus.htm beschrieben ist

Das Volumen eines Torus berechnet sich mit:

V = 2·pi^2·r^2·R

V1 = 2·pi^2·r^2·R = 2·pi^2·7.5^2·32.5 = 36085 cm^3
V2 = 2·pi^2·r^2·R = 2·pi^2·6^2·38 = 27003 cm^3

Wir sehen das Torus 1 das wirklich größere Volumen hat.

Die Oberfläche eines Torus berechnet sich mit
O = 4·pi^2·r·R
O1 = 4·pi^2·r·R = 4·pi^2·7.5·32.5 = 9623 cm^2
O2 = 4·pi^2·r·R = 4·pi^2·6·38 = 9001 cm^2

Damit hat Torus 1 auch die größere Oberfläche.

R - r = 15
R = 15 + r

V = 2·pi^2·r^2·R
V = 2·pi^2·r^2·(15 + r) = 2000 cm^3

2·pi^2·r^3 + 30·pi^2·r^2 - 2000 = 0

r = 2.412251897
R = 15 + r = 17.412251897

D = 2 * (R + r) = 39.65 cm

Der Torus hat einen äußeren Durchmesser von ca. 39.56 cm

Comments

Es scheint alles richtig rüber zukommen, doch wir hatten noch nie Torus.

Meine Lehrerin hat einen Tipp gegeben: Sie meinte, man schlitzt diesen Schwimmring auf, kann ihn zu einem Zylinder machen und dann die Kreisteile ausrechnen.

---

Ja. Dann wird mir das klar. Dann sollst du das ganze doch wie ein Torus behandeln.

Du sollst dir vorstellen diesen Ring in lauter Kreisrunde scheiben zu schneiden.

Dann wäre die Kreisfläche 

A = pi * r^2 (Ich hoffe du kannst das gelbe kleine r in der Zeichnung sehen.)

Wenn wir die Kreisscheiben jetzt alle hintereinanderlegen, dann ergibt sich ein Zylinder. Die Länge des Zylinders wäre jetzt die Länge des Kreisumfanges mit dem Radius R.

U = 2 * pi * R

Um den Torus zu berechnen muss ich also die Kreisfläche mal der Länge nehmen

V = A * U = (pi * r^2) * (2 * pi * R) = 2 * pi^2 * r^2 * R

Das ist die Formel die ich auch in meiner Rechnung benutzt habe.

---

Für die Oberfläche verfährst du genau so. Nur das wir hier nicht mit der Kreisfläche sondern mit dem Kreisumfang des Kleinen Kreises multiplizieren.

O = (2 * pi * r) * (2 * pi * R) = 4 * pi^2 * r * R

Auch diese Formel habe ich oben benutzt.

---

Du hast in der Aufgabe den Außendurchmesser und den Innendurchmesser gegeben. R ist der Mittelwert zwischen Außenradius und Innenradius.

(Außendurchmesser/2 + Innendurchmesser/2) / 2

= (Außendurchmesser + Innendurchmesser) / 4

In der Aufgabe z.B.

= (80 + 50) / 4 = 32.5 cm

Du solltest irgendwo bei mir in der Rechnung oben auch diese 32.5 cm wiederfinden.

Answer 2

Nehmen wir an, wir haben einen Kuchen in Kranzform. Zerlegen wir den nun durch zentrische Schnitte in gleich große Stücke (Sektoren), drehen jedes zweite Stück um 180° und schieben alle Stücke wieder zusammen, entsteht annähernd ein Kuchen in Kastenform.

Übertragen wir das auf den Torus (Schwimmring), wird aus diesem annähernd ein Zylinder. Im Grenzfall (unendlich kleine Stücke) bekommen wir tatsächlich einen Zylinder und können so den Torus mithilfe von Zylinderformeln berechnen. Der Umfang des Mittelkreises des Torus ist dabei die Höhe des Zylinders, die Oberfläche des Torus entspricht der Mantelfläche des Zylinders und die Volumina sind dieselben.