Ordnung für h gegen 0 bestimmen.

Question

Sei u(x,y) : R² ↦ R¹ hinreichend glatt. Bestimme die Ordnung für h→0:

1/h² { u(x-h,y)+u(x,y+h)+u(x,y-h)+u(x+h,y)-4u(x,y)}-u_xx(x,y)-u_yy(x,y)= O(?) "Groß-O"

Wäre nett wenn mir jemand erklären könnte wie man das lösen kann.

Comments

Kann man mit Taylorentwicklung machen. Probiere erst 1d.

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Also mir ist zwar klar wie Taylorentwicklung funktioniert und so, aber nicht wie man das hier anwenden sollte ;(

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Guckst Du zur Inspiration mal da:

https://de.wikipedia.org/wiki/Differenzenquotient#H.C3.B6here_Differenzenquotienten

Taylor kommt in's Spiel, weil in der Formel f(x+Δx) und f(x-Δx) auftaucht.

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Oh vielen Dank, das hilft mir wirklich ;)

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Im Einddimensionalen ist mir das nun klar.Ich habe allerdings noch eine Frage: Ich habe ja dann

1/h² { u(x-h,y)+u(x,y+h)+u(x,y-h)+u(x+h,y)-4u(x,y)}-u_xx(x,y)-u_yy(x,y)= O(?)

Theoretisch müsste man doch mit Taylorentwicklung u(x-h,y), u(x,y+h) usw berechnen einsetzen und O(?) bestimmen oder?

Aber wie kann ich denn bsw. u(x-h,y) mit Taylorentwicklung bestimmen.

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Fuer u(x±h,y) kannst Du y als konstant annehmen, es geht schliesslich um partielle Ableitungen. Man braucht nur Taylorentwicklung in 1d bzgl. x

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Also : u(x+h,y) ist Taylorentwicklung =

u(x,y)+u_x(x,y)h+ 1/2 u_x(x,y)h² + (O(h³)) ???

Und bei u(x,y+h) kann man dann x als Konstante wählen oder?

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Jo.

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