Untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen E1 und E2

Question

Und berechne gegebenfalls die Gleichung der Schnittgeraden g! Kann mir jemand helfen,  ich weiß nicht wie das geht. 

(Lage von  

Answer 1

Die Normalenvektoren sind nicht linear abhängig, damit gibt es zwangsweise eine Schnittgerade.. Löse daher das Gleichungssystem einfach in Abhängigkeit von z auf.

2·x + y + 5·z = 1
x - y + 7·z = 5

I + II

3·x + 12·z = 6 --> x = 2 - 4·z

2·(2 - 4·z) + y + 5·z = 1 --> y = 3·z - 3

X = [2 - 4·z, 3·z - 3, z] = [2, -3, 0] + z*[-4, 3, 1]

Die andere Gleichung wird auch so gemacht.

Comments

Danke, ist der Rechenvorgang bei jeder anderen Gleichung auch so? 

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Ja. Probier es zunächst selber. Wenn du nicht weiterkommst helfe ich aber gerne.

Answer 2

andere Möglichkeit:

d)

Die Normalenvektoren \( \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \( \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}\)

sind nicht parallel, weil sie keine Vielfachen voneinander sind, die Ebenen sind also nicht parallel.

Der Richtungsvektor der Schnittgeraden  steht auf beiden Normalenvektoen senkrecht, also kann man deren Kreuzprodukt nehmen:

\(\vec{u}\) = \( \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\) x  \( \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}\) =  \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Einen Stützvektor (gemeinsamen Punkt beider Ebenen) findet man aus 

3x -2y + 2z = 13  und  5x -3y + 3z = 2

Eine Variable kann man frei wählen, z.B. z=0

3x - 2y = 13 | • 3   →     9x - 6y = 39

5x - 3y = 2   | • 2   →   10x - 6y  = 4

G1 - G2                 →    - x         = 35  →  x = - 35

x in G1 →  y = 59

Schnittgerade:

\(\vec{x}\) = \( \begin{pmatrix} - 35 \\ 59 \\ 0 \end{pmatrix}\) + r • \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Gruß Wolfgang