Lagebeziehung zweier Ebenen, allgemeine Frage, Koordinatenform

Question

ich habe mal eine Frage zur Lage von zwei Ebenen.

Aufgabe: 

Stelle E4 in Koordinatenform auf und verallgemeinere, wie man anhand der Ebenengleichung erkennt, dass E₂ und E₄ identisch sind.

E₂: 3x + 5y + 3z = 1

E₄: (x - (0|0|1/3) ) • (-3|-5|-3) = 0 

Ebene 4 ist in der Normalenform. Leider konnte ich keinen Pfeil für den Vektor x einfügen :-)

Als Koordinatenform habe ich:

E₄: -3x - 5y -3z = -1

Könnte mir vielleicht jmd. sagen, ob das Ergebnis richtig ist und wie man das nun ohne Rechnung erkennt?

schon mal an diejenigen, die sich um die Zeit noch die Mühe machen, Mathefragen zu beantworten.

Gruß Jan

Answer 1

Wir haben die Koordinatenformen und

und zeigen E2 = - E4 ===> E2 ≅ E4

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Okay, Danke :)

Answer 2

beide Ebenen sind parallel zu einander, da beide Spannvektoren von E4 Linearkombinationen von E2 sind.
Da dein Stützvektor von E4 jedoch auf E2 liegt, liegen die Ebenen ineinander. Falls du parallel aber nicht identisch haben willst, nutze für d ℝ \{-1}

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Danke für die Antwort.

Leider hab ich es jetzt noch nicht so ganz verstanden. Die Ebenen E2 und E4 sollen ja laut Aufgabenstellung identisch sein. Weshalb sind sie jetzt also parallel oder sollten es sein.

Wäre cool, wenn du es nochmal kurz erklären könntest.

Nochmal danke :)

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Die Argumentation von finde ich etwas verworren.

Spannvektoren - wo bitte?

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Formulieren wir es anders, wenn beide Normalenvektoren \(\vec{n_1}\) und \(\vec{n_2}\) kollinear sind (also das Vektorprodukt gleich null ist), dann sind sie zueinander parallel.

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Sorry, hab’s noch nicht so ganz... Wo ist denn der zweite Normalenvektor?

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Das wäre der aus E4. Du solltest ihn so wählen, dass das Kreuzprodukt null ergibt. Im einfachsten Fall nimmst du den selben wie von E2 [und änderst das Vorzeichen].