Passende Gruppe um multiplikative Gruppenstruktur zu zeigen

Question

Ich habe eine Gruppe G, von welcher ich weiß, dass sie endlicher Ordnung ist und eine Untergruppe U mit U = { g ∈ G ; ord(g) ≤ 2 }

Zu zeigen ist, dass

  ∏ g     =     ∏ g

  ^{g∈G                g∈U}

gilt.

Als Tipp habe ich bekommen, dass ich eine geeignete Gruppe finden soll, um diesen Ausdruck zu beweisen. Aber leider fällt mir keine geeignete Gruppe ein! Vielleicht hat ja einer von euch eine Idee!

Comments

Ist die Gruppe kommutativ?

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Ja, ist sie!

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Dann ist die Antwort trivial, da für jede kommutative Gruppe \( G \) gilt

\( \prod_{g \in G} g = e \).

Damit ist \( \prod_{g \in G} g = \prod_{u \in U} u \) für jede Untergruppe \( U \) von \( G \).

(Es ist \( e = e_G = e_U \).)

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Nein, es gilt NICHT für jede Gruppe, dass das Produkt aller Gruppenelemente das neutrale Element ist (Gegenbeispiel: Menge der Restklassen modulo 3 ohne die 0 mit der Multiplikation als Verknüpfung, dann gilt 1*2=2≠1).

Hingegen gilt folgendes Argument, die die Richtigkeit des zu Zeigenden beweist: Sei a∈G mit ord(a)>=3 beliebig. Dann gilt a≠1 und a²≠1 also a≠a^{-1}, d.h. a und das Inverse von a sind verschieden. Daraus schließen wir: Multipliziert man alle Elemente von G, so kürzen sich aufgrund der Kommutativität alle Elemnte mit Ordnung >=3 heraus, da diese Elemente von ihrem Inversen paarweise verschieden sind und Inverse eindeutig sind. Übrig bleibt das Produkt aller Elemente aus U. qed

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Stimmt, für meine Aussage muss man noch voraussetzen, dass es keine Selbstinversen in der Gruppe gibt. Ein solches Element hat die Ordnung zwei.

Dadurch wird die Aussage wieder trivial, da

\( \prod_{g \in G: \text{ ord}(g) > 2} g = e \)

ist und damit

\( \prod_{g \in G} g = \prod_{g \in G: ord(g) \leq 2} g = \prod_{u \in U} u \).

Answer 1

ich fasse die Diskussion nochmal zusammen. Da die Gruppe \( G \) kommutativ ist, lässt sich ein Produkt von Gruppenelementen beliebig anordnen:

\( \prod_{g \in G} g = \prod_{g \in G: \text{ ord}(g) \leq 2} g \prod_{g \in G: \text{ ord}(g) > 2} g \)

\( = \prod_{g \in G: \text{ ord}(g) \leq 2} g = \prod_{g \in U} g \).

Hierbei findet Niederschlag, dass \( \prod_{g \in G: \text{ ord}(g) > 2} = e \) ist.

Ein nichtneutrales Gruppenelement ist genau dann selbstinvers, wenn es die Ordnung \( 2 \) hat. Das selbstinverse neutrale Element hat naturgemäß die Ordnung \( 1 \).

Mister