e-Funktion: f(x)=(x^2-2*x)*e^{0,5*x} a) Wo schneidet die Kurvennormale in W1 (-6/48*e^-3) jene in W2 (0/0)?

Question

Hallo habe hier eine e-Funktion mit verschiedenen Aufgaben.

Vielleicht erbarmt sich ja ein(e)r um mir dabei weiter zu helfen denn Mathe ist nicht so mein bester Freund.:D

Hier die Aufgabe: f(x)=(x^2-2*x)*e^{0,5*x}

a) Wo schneidet die Kurvennormale im Wendepunkt W1 (-6/48*e^-3) die Kurvennormale im Wendepunkt W2 (0/0)

Lösung: f´(x)=e^{0,5*x}*(x^2-2)

y=mn+n mn=-1/mt mt=f´(-6)=-.1,9 mn=-1/-1,9=0,53

48*e^{-3}=0,53*(-6)+n

5,6=n

y=0,53x+5,6

Ist das soweit korrekt?

Answer 1

Ich komme auf Folgendes: 

 

f(x) = (x^2 - 2x) * e^0,5x

Anwendung der Produktregel (u * v)' = u' * v + u * v'

mit u = x^2 - 2x und u' = 2x - 2

sowie v = e^0,5x und v' = 0,5 * e^0,5x

ergibt bei mir

f'(x) = (0,5 * x^2 + x - 2) * e^0,5x

 

Damit ist der Anstieg in W1

f'(-6) = (36/2 - 6 - 2 ) * e^0,5 = 10 * e^{-3} = 10/e^3

Die Normale n1 hat als Anstieg den negativen Kehrwert, also -e^3/10

Ihre Gleichung lautet

n1 = 48/e^3 - e^3/10 * (x + 6)

 

Der Anstieg in W2 ist

f'(0) = -2

Die Normale n2 hat als Anstieg den negativen Kehrwert, also 1/2 

Ihre Gleichung lautet

n2 = 1/2x

 

Wenn ich n1 = n2 rechne, komme ich schließlich auf 

x = (48/e^3 - 6*e^3/10) / (1/2 + e^3/10) ≈ -3,8514

Der entsprechende y-Wert lautet -3,8514/2 = -1,9257

 

Die beiden Normalen schneiden sich im Punkt (-3,8514|-1,9257)

Comments

Danke dir schonmal.

Mit der Ableitung da hab ich ein fehler gemacht -.- das versteh ich allerdings versteh ich nicht wie du auf die Gleichung der n1 kommst ? (was hat es mit dem Kehrwert auf sich ?) unbd könnte man 48/e3 - e3/10 nicht zusammenfassen und mit der Klammer ausmultiplizieren?
(dachte immer muss x und y Wert einsetzen und dann mn (mn=-1/mt-->= f´(x0)) und dann nach n umstellen.

Danke für deine Mühe

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(dachte immer muss x und y Wert einsetzen und dann mn (mn=-1/mt-->= f´(x0)) und dann nach n umstellen.

mn=-1 nach n umstellen genügt

n= -1/m

Wenn nun m ein Bruch ist m= a/b, dann ist
n = (- 1/1)/(a/b) = -b/a

gemäss Bruchrechenregeln.

Für m nimmt man hier f '(xo).

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Ah okay danke

Aber wie kommt man dann auf 48/e3 - e3/10* (x+6)?

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Quasi der Schritt vom Anstieg zu der Tangentengleichung

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Die Gleichung einer Tangente an einem bestimmten Punkt f(x0) einer Funktion f(x) lautet allgemein: 

y = f(x0) + f'(x0)*(x-x0)

Das entspricht dem bekannten

y = mx + b

Der Anstieg m ist gleich dem Anstieg von f(x) in dem Punkt x0, also f'(x0).

b ist f(x0), also eine Verschiebung des Graphen bzw. der Tangente in y-Richtung.

Und statt x heißt es hier x-x0, was die Verschiebung in x-Richtung berücksichtigt.

Bei der Gleichung der Normalen bleibt das alles gleich, nur der Anstieg ist umgekehrt proportional zum Anstieg der Tangente: Geht die Tangente z.B. steil nach oben, dann geht die Normale flach nach unten.

Deshalb lautet die Gleichung der Normalen an einem bestimmten Punkt f(x0) einer Funktion f(x) allgemein:

y = f(x0) - 1/f'(x0)*(x-x0)

f(-6) = 48*e^{-3} = 48/e^3

f'(-6) = 10/e^3, also hat die Normale den Anstieg des negativen Kehrwerts = - e^3/10

Und schließlich (x - x0) = x -(-6) = x+6

 

Alles klar?

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Sehr hilfreicher Beitrag.

VIelen dank für die Zeit und Mühe aber jetzt versteh ich es.

Grüße

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Ich komme absolut nicht weiter mit dieser Gleichung: 48/e3-e3/10 *(x+6)=0,5x

Wie löse ich die jetzt auf ? Hab sogar das Ergebnis schon aber ich komm einfach nicht drauf

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48/e^3 - e^3/10 * (x + 6) = 0.5x
48/e^3 - xe^3/10 - 3/5e^3 = 0.5x
48/e^3 - 3/5e^3 = 0.5x + xe^3/10
48/e^3 - 3/5e^3 = x(0.5 + e^3/10)
x = (48/e^3 - 3/5e^3) / (0.5 + e^3/10)
x = -3.851439537

Man kann aber auch schon vorher in Dezimalzahlen rechnen.

48/e^3 - e^3/10 * (x + 6) = 0.5x
2.389779281 - 2.008553692 * (x + 6) = 0.5x

Das ist für den ungeübten vielleicht etwas einfacher zu lösen.

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@Anonym: Gleichung auflösen heisst im einfachsten Fall: x auf einer Seite isolieren.

Daher: Klammern richtig auflösen. Summanden mit x auf eine Seite jene ohne auf die andere. x ausklammern.
Gleichung durch die Klammer teilen.
Setze schlimmstenfalls mal für e eine gerundete Zahl ein, damit der Auflösungsweg einleuchtet.

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Ah perfekt danke.

Hab zu der Aufgabe noch eine andere gefunden: Wo schneidet der Graph von f die Winkelhalbierende des 1. Quadranten? Bestimmen sie den Schnittpunkt näherungsweise.

Dies läuft ja sicher auf das Newton Verfahren hinaus?

Hab so begonnen:

f(x)=(x^2-2*x)*e^{0,5*x}         g(x)=x

f(x)=g(x)
(x^2-2*x)*e^{0,5*x}=x           -->ausklammern

x^2*e^{0,5*x}-2*x*e^{0,5*x}=x      --> -x

x^2*e^{0,5*x}-x*e^{0,5*x}=0     --> e^{0,5*x}  ausklammern

e^{0,5*x}*(x^2-x) = 0

Soweit korrekt ? Nun weiß ich nicht genau weiter

Newton sagt ja x2=x1-f(x1)/(f´(x1)

Also ist e^{0,5*x}*(x^2-x) meine Funktion mit der ich dort arbeiten muss?

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Ich bin noch zu keiner Lösung gekommen, aber einen Fehler in Deiner Rechnung gibt es: 

(x^2 - 2x) * e^0,5x = x

x^2 * e^0,5x - 2x*e^0,5x = x

Wenn Du jetzt x auf beiden Seiten subtrahierst, kommt heraus: 

x^2 * e^0,5x - 2x*e^0,5x - x = 0

Die 2x links werden ja noch mit e^0,5x multipliziert!

 

Als Idee (!) habe ich Folgendes: 

(x^2 - 2x) * e^0,5x = x | x ausklammern

x*(x - 2) * e^0,5x = x   | beide Seiten durch x dividieren

(x - 2) * e^0,5x = 1

 

Jetzt komme ich aber leider auch nicht weiter :-(