Berechnung Fläche zwischen Funktion Wendetagente und x-Achse

Question

Zeichne für 0 kleinergleich x kleinergleich 6 das schaubild K der Funktion f mit f(x) = 5/27x hoch 3 - 5/3x hoch 2 + 4x. Berechne den Inhalt der Fläche , die begrenzt wird von K, der Wendetagente und

A) x-achse

B) y-axhse.

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f ( x ) =  5/27 * x^3 - 5/3 * x^2 + 4*x
f ´( x ) = 15 / 27 * x^2 - 10 / 3 * x + 4
f ´´ ( x ) = 30 / 27 * x - 10 / 3

Wendestelle
30 / 27 * x - 10 / 3 = 0
x = 10 / 3 * 27 / 30
x = 3

Wendetangente
f ( 3 ) =  5/27 * 3^3 - 5/3 * 3^2 + 4*3
f ( 3 ) = 2
W ( 3 | 2 )

Steigung
f ´ ( 3 ) = -1

y = m * x + b
2 = -1 * 3 + b
b = 5

t ( x ) = - x + 5

~plot~  5/27 * x^3 - 5/3 * x^2 + 4*x ; -x + 5 ~plot~

A) x-achse
∫ f dx zwischen 0 und 3
plus
Wendetangente zwischen 3 und 5

Answer 1

Erste  und zweite Ableitung bilden. Nullstelle der zweiten Ableitung x_w= 3 in die erste Ableitung und in die Ausgangsfunktion einstzen ergibt W(3/2) ist Wendepunkt und    f'(3) = m =  - 1 ist Steigung der Wendetangente. Die Gleichung der Wendetangente ist y = - x + 5.
a) ∫(Grenzen von 0 bis 3) (f(x)) dx +2 = 35/4
b)25/2 - 35/4 = 15/4.

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Wie kriege ich denn genau die 35/4 raus?

Answer 2

Hey!

Hier mein Rechenweg. Hoffe du verstehst es , sonst fragen :)