Rayleigh-Verteilung(Wahrscheinlichkeitsmaß , Erwartungswert, Varianz, Verteilungsfunktion )

Question

Sei f(x) = x/a^2 * e^{-x^2}/(2a^2), x∈ ℝ+ , a> 0

a) zeigen sie das die Dichte der f(x) ein 'Wahrscheinlichkeitsmaß definiert

b) bestimmen Sie die Verteilungsfunktion

b) berechnen Sie Erwartungswert und Varianz

kann mir bitte jemand bei der Aufgabestellung helfen. bzw. mir ein paar Tipps geben ?

n

Comments

bekomme ich keine Hilfe ???

Answer 1

Hi,

sei $$ f(x) = \frac{x}{a^2} e^{-\frac{x^2}{2 a^2}} $$ zu zeigen ist
$$  (1) \quad \int_0^\infty f(x)\ dx = 1  $$
$$  (2) \quad F(x) = \int_0^x f(x)\ dx $$
$$  (3) \quad E(x) = \int_0^\infty x\ f(x)\ dx $$
$$  (4) \quad V(x) = E(x^2) -E(x)^2 $$
siehe auch hier
https://de.wikipedia.org/wiki/Rayleigh-Verteilung

Comments

Ich habe nr 1 und 2 gezeigt. aber wie kann ich (E(X) )  x*f(x) integrieren ?? vielleicht kann mir  jemand helfen ???

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Hi, es gilt

$$ E(x) =  \int_0^\infty \frac{x^2}{a^2} e^{-\frac{1}{2}\frac{x^2}{a^2}}\ dx = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty \frac{x^2}{a^2} e^{-\frac{1}{2}\frac{x^2}{a^2}}\ dx =  \frac{1}{2 a^2} \sqrt{2 \pi} a\ a^2 = \sqrt{ \frac{\pi}{2}  }a  $$

weil das letzte Integral die Normalverteilung darstellt, und von der kennt man das zweite Moment.

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Danke.. Sie haben mir wirklich weiter geholfen :)

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Kannst ruhig Du sagen.