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, ich hänge bei einer Aufgabe fest, bei der es um rekursiv definierte Folgen geht.

Die Folge {xn}n∈N  ist gegeben durch xn+1 = xn(2 − xn) mit x1 = 1/2 .

Wie zeige ich jetzt mit vollständiger Induktion, dass für alle n∈N die Ungleichungen 0 < xn < 1 und xn+1 > xn gelten?

Und wie kann ich begründen, dass die Folge {xn}n∈N konvergiert? 

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1 Antwort

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wenn du die ersten beiden Sachen bewiesen hast,

dann hast du, dass die Folge monoton steigend

und nach oben beschränkt ist, also konvergent.

 

Avatar von 289 k 🚀

Ah, ich verstehe. Könntest du mir vielleicht noch sagen, wie man zeigen kann, dass bei der vollständig Induktion diese 0 < xn < 1

Ungleichung gilt? 

Für n=1 ist es ja klar.

Wenn es für ein n gilt, dann betrachte

xn+1 - 1 =   xn+1 = xn(2 − xn)

                        =  2xn   - xn^2 - 1

                         = -  ( xn - 1 ) ^2

und wenn 0 < xn < 1 gilt, dann liegt -  ( xn - 1 ) ^2

zwischen -1 und  0 .   Also hast du

         -1   <  xn+1 - 1    <   0       gibt

            0  <     xn+1    <  1

Warum soll xn+1 - 1 =   xn+1 sein?

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