Fragen zur rekursiv definierten Folge xn+1 = xn(2 − xn) mit x1 = 1/2 .

Question

, ich hänge bei einer Aufgabe fest, bei der es um rekursiv definierte Folgen geht.

Die Folge {xn}_n∈N  ist gegeben durch x_n+1 = x_n(2 − x_n) mit x₁ = 1/2 .

Wie zeige ich jetzt mit vollständiger Induktion, dass für alle n∈N die Ungleichungen 0 < x_n < 1 und x_n+1 > x_n gelten?

Und wie kann ich begründen, dass die Folge {x_n}_n∈N konvergiert? 

Answer 1

wenn du die ersten beiden Sachen bewiesen hast,

dann hast du, dass die Folge monoton steigend

und nach oben beschränkt ist, also konvergent.

 

Comments

Ah, ich verstehe. Könntest du mir vielleicht noch sagen, wie man zeigen kann, dass bei der vollständig Induktion diese 0 < x_n < 1

Ungleichung gilt? 

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Für n=1 ist es ja klar.

Wenn es für ein n gilt, dann betrachte

x_n+1 - 1 =   x_n+1 = x_n(2 − x_n)

                        =  2x_n   - x_n^2 - 1

                         = -  ( x_n - 1 ) ^2

und wenn 0 < x_n < 1 gilt, dann liegt -  ( x_n - 1 ) ^2

zwischen -1 und  0 .   Also hast du

         -1   <  x_n+1 - 1    <   0       gibt

            0  <     x_n+1    <  1

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Warum soll x_n+1 - 1 =   x_n+1 sein?