graph gegeben. wie bestimme ich die funktionsgleichung?

Question

Ich habe hier eine Abbildung von einer Exponentialfunktion gegeben und muss die Funktionsgleichung bestimmen, wie mache ich das? Wenn möglich bitte Schritt-für-Schritt erklären, danke :)

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die Lösung lautet: y = 2(√2)^-x -2

Answer 1

Denke dir zunächst dort die x-Achse wo die Asymptote ist. Stelle damit die Funktion auf. Dann verschiebst du die Funktion einfach nur noch dorthin wo die Asymptote ist.

f(x) = 2 * 0.5^{x/2} - 2

~plot~2 * 0.5^{x/2} - 2~plot~

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aber wie stellt man die Funktion auf?

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Bei einer Exponentialfunktion

f(x) = a * b^{x/c}

Was kann man mit a, b und c verändern.

Nimm dir einen Funktionsplotter und spiel damit mal etwas herum.

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jetzt hab ich schon y = c*a^x,

y = a*b^x + c

y = a* b^{x/c},

y = 2^x und

y = a*x^n

als allgemeine Funktionsgleichung für die Exponentialfunktion gesehen. Ist das alles das Gleiche? Kommt's darauf an welches ich nehme?

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Der Ansatz von mir ist die nicht verschobene allgemeine Exponentialfunktion. Also die die die x-Achse als Asymptote hat. Die nimmt man aber erstmal um es aufzustellen und dann verschiebt man sie. So empfehle ich es zumindest weil es der schnellste und bequemste Weg meiner Meinung nach ist.

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Das setzt allrdings voraus, dass die Asypmtote bekannt ist.
Hier sind drei Punkte eindeutig gegeben, was zur Bestimmung des Funktionsterms ausreicht. Die Asymptote wäre demgegenüber ohne die Angabe des y-Wertes in der Graphik eher geschätzt.

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Stell dir die x-Achse auf der Asymptote vor. Dann wäre der y-Achsenabschnitt bei 2. Geht man zwei Einheiten nach rechts hat man den Wert 1, geht man 2 Einheiten nach links hat man den Wert 4. Das sieht also ganz klassisch wie eine Halbierung und Verdopplung aus. Der Funktionsterm ist daher flugs aufgestellt.

Weiterhin darf man bei Linien die vom Lehrer gemacht worden sind meist einen tieferen Sinn dahinter vermuten.

Man kann natürlich auch mit einer allgemeinen Funktion anfangen und dann drei Bedingungen nehmen. Das dauert nur etwas länger und ist etwas umständlicher.

Answer 2

Du kannst ansetzen:

y= a *b^x+c

Dann hast Du 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten , was zu lösen ist.

--------->das bedeutet:

1) 2= a * 1/b^2+c

2) 0= a+c

3)-1= a *b^2 +c

-------------------------

a= -c

---------->

2= a/b^2-a

-1=a *b^2-a

-------------------------------

A) 2= a(1/b^2-1)

B)-1 =a (b^2-1)

-------------------------------------

A: B ----------------->

-2= (1/b^2-1)/(b^2-1)

b=  ± 1/√2

a=2

c=-2

-------->Einsetzen in die allg. Gleichung ->siehe Lösung

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ich habe dann:

b^-2 / -b^2

-> Kehrwert:

-2= 1/ -b^4

b^4 = 0.5

b = 0.84

stimmt das?