Hallo,
eine Parabel hat die allgemeine Form: \(f(x)=ax^2+bx+c\). Zur Demonstration:
\(f(x)=x^2-2x+1\) hier ist dann \(a=1\), \(b=-2\) und \(c=1\).
Wir wollen nun aber eine ganz bestimmte Parabel berechnen, nämlich eine, die die Bedingungen erfüllt, die dir die Aufgabenstellung verrät.
Ich mache mal beispielhaft die a)
Die Parabel, die hier gesucht wird, geht durch die in der Aufgabenstellung beschriebenen Punkte \(P(0|3)\), \(Q(3|81)\), \(R(-2|21)\). Die erstgenannte Koordinante ist der \(x\)-Wert und die zweitgennante Koordinante der \(y\)-Wert. Die Idee ist nun, dass du diese Punkte in die allgemeine Parbelform einsetzt:$$f(0)=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c=\boxed{c=3}$$$$f(3)=a\cdot 3^2+b\cdot 3+c=9a+3b+c=81$$$$f(-2)=a\cdot (-2)^2+b\cdot(-2)+c=4a-2b+c=21$$ In der ersten Gleichung haben wir bereits eine Lösung für \(c\) gefunden, die du in den beiden unteren Gleichung direkt einsetzen kannst:$$9a+3b+3=81 \Leftrightarrow 9a+3b=78$$$$4a-2b+3=21 \Leftrightarrow 4a-2b=18$$ Das ist nun ein lineares Gleichungssystem, das du lösen kannst. Kontrolllösung: \(\boxed{a=7}\) und \(\boxed{b=5}\). Nun hast du die Parabel erfolgreich rekonstruiert: \(f(x)=7x^2+5x+3\)
Bei den anderen Aufgaben kann ich dir noch den Tipp geben, mal nach "Scheitelpunktform einer Parabel" zu recherchieren.
