Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz, Grenzwert?

Question

 

Ich hoffe jemand kann die Aufgabe lösen ich kommen leider überhaupt nicht damit klar.

Answer 1

b)  einfach etwas umformen:

(√ (n^2 + 2n + 5) - 3n )     /   (  √(n+2) - √(n^2 + 7 )

= n* √ (1 + 2/ n + 5/ n^2) - 3n )       /   (  n * ( √(1/n+2/n^2) - √(1 + 7/n^2 )  ) )

= √ (1 + 2/ n + 5/ n^2) - 3   )       /      ( √(1/n+2/n^2) - √(1 + 7/n^2 )  )

Der Zähler geht gegen    1  - 3 

und der Nenner gegen  - 1

also Grenzwert  -2 / -1 =   2.

Answer 2

zu a)

bei  gegebenem a₁   und   a_n+1 = f(a_n)    hilft oft ein Trick:

Wenn man voraussetzt, dass die Folge (a_n) einen Grenzwert a hat,  dann kommen für n→∞  sowohl a_n also auch a_n+1 beliebig nahe an diesen heran. Deshalb muss die Gleichung  a = f(a) gelten, mit der man diesen einzig möglichen Grenzwert a bestimmen kann.

[ in der Aufgabe a = R + R•a / (R+a)  →  a = R·(√5/2 + 1/2) ]

Die Beschränktheit prüft man meist mit vollständiger Induktion, wobei der oben bestimmte "vorläufige Grenzwert" a als vermutete obere (untere) Schranke dient. (Diese sollte die bestmögliche sein, weil sich daraus ggf. für die Monotonie eine notwendige Bedingung ergeben kann!)

Für die Monotonie erhält man die mögliche "Monotonieart" aus den ersten Folgengliedern und muss dann die Ungleichung  a_n+1 >  (<)  a_n   betrachten.

Aus Monotonie und Beschränkheit ergibt dann a als tatsächlicher Grenzwert.

Gruß Wolfgang

Comments

Ok vielen Dank schon mal für die Mühe Aufgabe b) konnte ich sehr gut nachvollziehen, denn durch das Umformen gehen viele Summanden gegen null weswegen der Grenzwert dann einfach zu bestimmen war.

Wäre es möglich bei a vielleicht so eine Art ausführliche Lösung zu geben, denn leider komme trotz den vielen Tipps noch nicht wirklich weiter. Interessant wäre auch die Bestimmung des Grenzwertes a´s.

Nochmal vielen Lieben dank.

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Den Grenzwert a erhältst du einfach durch Umformen nach a in [ ...] .

Für die Beschränktheit musst du mit vollst. Induktion 

a_n < R/2 • (1+√5)  zeigen.

Damit kannst du dann auch die Monotonie zeigen:

R + R•a_n / (R+a_n) > a_n  

Das ist ziemlich viel Tipparbeit! Ein paar gepostete Versuche deinerseits könnten mich eventuell motivieren!

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Das größte Problem besteht leider darin, dass ich nicht auf dieses Ergebnisse komme a = R·(√5/2 + 1/2). Ich weiß nicht ob es am falschen Ansatz liegt, aber selbst wenn man die Umstellung durch wolfram alpha berechnen lässt kommt das Programm nicht auf diese Lösung. Vielleicht kannst du mir zeigen wie du darauf gekommen  bist.

Bestesten Dank im Voraus.

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die Gleichung  a = R + R*a / (R+a)   bzgl. der Unbekannten a die Lösungen a = r·(1/2 - √5/2) ∨ a = r·(√5/2 + 1/2).

a = r·(√5/2 + 1/2)  ist also die einzige positive Lösung.

[  mit R+a multiplizieren, Klammer links ausmultiplizieren, alles auf eine Seite = 0 , pq-Formel anwenden ]

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ok So macht es Sinn vielen Dank den Rest habe ich hinbekommen. Habe leider nie versucht R+a auszuklammern sondern nur R. Aber vielen Dank das hat viel geholfen !!