Stetigkeit einer Funktion zeigen? g(x) = {x+2 gdw x<0 ; 0 gdw x=0 ; x-3 gdw x>0} mit D := (-2,-1]U{0}U[2,3)

Question

Sei \( D \) die Menge \( (-2,-1] \cup\{0\} \cup[2,3) \), und Sei g: \( D \rightarrow[-1,1] \) definiert als

\( g(x)\left\{\begin{array}{lll}x-3 & \text { falls } & x<0 \\ 0 & \text { falls } & x=0 \\ x+2 & \text { falls } & x>0\end{array}\right. \)

Zeigen Sie, dass \( g \) stetig (und bijektiv) ist.

ich soll für:

g(x) = {x+2 gdw x<0   ;  0   gdw  x=0   ;  x-3 gdw  x>0}   mit D := (-2,-1]U{0}U[2,3)

g(x) :  D -> [-1,1]

die Stetigkeit zeigen.

Die Musterlösung sagt die Funktion sei stetig.

Mein Ansatz zeigt das Gegenteil.

Sei x_n-> -1 folgt für

lim(g(xn))= -1+2 =-1

lim(g(0))=0

Es gibt also einen Sprung, und die Funktion ist nicht stetig.

Answer 1

Beachte den Definitionsbereich von g.

D := (-2,-1]U{0}U[2,3)

Du musst die Stetigkeit nur in den einzelnen Teilbereichen überprüfen. Daher gibt's keine Probleme. Im Bereich um 0 darfst du gar nichts einsetzen.

Comments

Achtung: Sind in der Frage vielleicht die Zeilenwechsel verrutscht? Hier?

g(x) :  D -> [-1,1]

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Ich habe die Aufgabe jetzt exakt wie sie gestellt ist / wurde, nachgestellt.

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Aha. Muss ich in so einem Fall also nur die Einzelnen Mengen prüfen, und nicht den "Sprung" in die nächste Menge des Definitionsbereiches?

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Dann ist das schon ok. D ist der vorgegebene Bereich.
Zeichne die einzelnen Abschnitte am besten ins Koordinatensystem ein. So kannst du die Bijektivität (eindeutig umkehrbar von W=[-1,1] aus betrachtet) sicher auch gleich ablesen.

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Nur für das Verständnis:
Heißt das, dass wenn ich im Definitionsbereich "Springe" ein Sprung im Bild "erlaubt" erlaubt ist?

Also wäre mit D=(-2,1]U{0}U(1,4) auch  f(x) = sign(x) stetig?

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Nein nur bei Löchern im Definitonsbereich darf man springen. Da hat man dann keinen links- und rechtsseitigen Grenzwert, den man einbeziehen muss.