Funktion konvex oder konkav; Funktion mit 2 Veränderlichen

Question

Kann mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe helfen 

Zeige, welche der folgenden Funktionen (strikt) konvex bzw. (strikt) konkav ist:

f(x,y)= (1+x²)(1+y²)
f(x,y)= x³+10y⁴x

ich weiss, dass ich mir den Gradienten und die Hesse-Matrix ausrechnen muss, aber ich komm leider nicht weiter.

Comments

Wobei kommst du nicht weiter ?

Für die Hesse-Matrix brauchst du doch nur die partiellen Ableitungen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Hesse-Matrix

Ich denke mal du weißt wie du eine Ableitung bildest oder nicht ?

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Ja das ist mir alles klar. Partielle Ableitungen und Hesse-matrix sind nicht das Problem.

Ich weiß auch, dass wenn die Hesse Matrix positiv definit ist, dann ist die Funktion konvex.

Nur ich weiß nicht wie ich dann genau vorgehen muss. Muss ich mir einfach überlegen für welche Werte die Hesse Matrix positiv definit ist???

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Ja. Die genaue Definition entnimmst du dem Wikipedia-Artikel. Wenn du noch eine Nachfrage hast dann wäre es günstig, wenn du bereits die Hessematrix angibst. Zumindest wenn diese nicht das Problem ist.

Answer 1

1.

$$\cfrac { { \partial  }^{ 2 }f }{ \partial { x }^{ 2 } } =2+2y²\quad >\quad 0\quad \forall \quad x\in R$$

Nach y kommt das äquivalente heraus, also strikt konvex auf ganz R

2.

$$\cfrac { { \partial  }^{ 2 }f }{ \partial { x }^{ 2 } } =6x\quad >\quad 0\quad \forall \quad x>0,\quad <0\quad \forall \quad x<0$$

$$\cfrac { { \partial  }^{ 2 }f }{ \partial y^{ 2 } } =120x{ y }^{ 2 }\quad >\quad 0\quad \forall \quad x>0,\quad <0\quad \forall \quad x<0$$

Hier sind beide 2. Ableitungen auch wieder gleich bezügliche der Konvexität und Konkavität, wobei y nicht 0 sein darf. Also wenn x>0, y≠0 => strikt konvex, für x<0 dann strikt konkav