Wie kann ich in dieser Funktion Nullstellen berechnen? y = 1/6 * (-x^6+3x^4-3x^2+1)

Question

Wie ich es schon in der Frage geschrieben habe.

Suche Gute Lösungswege um in der folgenden Formel die Nullstellen zu berechnen.

f(x) = 1/6 * (-x^6+3x^4-3x^2+1)

danke jetzt schonmal für die antworten :)

Answer 1

Hi!

Nun du musst die Funktion gleich null setzen, und dann nach x auflösen, x ist dann die/eine Nullstelle.

 1/6*(-x^6 + 3 x^4 - 3 x^2 + 1)=0   | : 1/6

  (-x^6 + 3 x^4 - 3 x^2 + 1) = 0  Nun substituieren wir: z=x^2
-x^3 + 3 x^2 - 3x +1 = 0 | * -1

  x^3 - 3 x^2 + 3x -1 = 0
So jetzt nutze die cardanischen Formeln (habt ihr die schon durchgenommen? Wenn nicht google doch, ich will dir auch noch ein ganz bisschen Arbeit überlassen ;) )


gruß...

Comments

Ach, und vergiss bitte die Resubstitution nicht... :)

Answer 2

1/6 * (-x⁶ + 3x⁴ - 3x² + 1) = 0

Ein Produkt wird null, wenn einer der Faktoren null wird. Daher brauchen wir nur die Klammer null setzen.

-x^6 + 3x^4 - 3x^2 + 1 = 0

Ich finde Nullstellen bei +1 und -1 und mache daher eine Polynomdivision

(-x^6 + 3x^4 - 3x^2 + 1) : (x^2 - 1) = -x^4 + 2x^2 - 1

Nun setzte ich das Ergebnis = 0

-x^4 + 2x^2 - 1 = 0

Auch hier findet man wieder Nullstellen bei +1 und -1. Daher mache ich erneut eine Polynomdivision

(-x^4 + 2x^2 - 1) : (x^2 - 1) = -x^2 + 1

Dieser Term kommt mir bekannt vor, und auch dieser Term liefert wieder Nullstellen bei +1 und -1.

Daher wäre +1 eine dreifache Nullstelle und -1 eine dreifache Nullstelle.

Die Faktorzerlegung lautet

1/6 * (- x^6 + 3x^4 - 3x^2 + 1) = -1/6 * (x + 1)^3 * (x - 1)^3

Answer 3

f(x) = 1/6 * (-x^6+3*x^4-3*x^2+1)
= -1/6 * (x^6-3*x^4+3*x^2-1)
= -1/6 * (x^2-1)^3
= -1/6 * ((x-1)*(x+1))^3

Anmerkungen:
(1) Ich ziehe zunächst das Minus nach vorne.
(2) Ich faktorisiere nach der binomischen Formel dritten Grades:
      a^3 - 3*a^2*b + 3*a*b^2 - b^3 = (a-b)^3
(3) Ich faktorisiere nach der dritten binomischen Formel
      a^2 - b^2 = (a-b)*(a+b) innerhalb der Klammer.