Sei V := C[0, 1] der Raum der stetigen Funktionen. Beweisen, dass ||.||_(1) eine Norm ist.

Question

dies ist eine alte Aufgabe . Ich hätte gerne gewusst wie man die b) beweist.

Sei \( V:=C[0,1] \) der Raum der stetigen Funktionen \( f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) Beweisen Sie:

(a) Durch
$$ \|f\|_{\infty}:=\max \{|f(x)| | x \in[0,1]\} $$
erhält man eine Norm ||. \( \|_{\infty} \) auf \( V \)


(b) Durch
$$ \|f\|_{1}:=\int \limits_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} \mathrm{x} $$
erhält man eine Norm \( \|\cdot\|_{1} \) auf \( V \).

Comments

Kontrolliere die Eigenschaften aus der Definition von Norm.

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Du hast doch das 2013 schon mal gemacht (?) https://www.mathelounge.de/21577/ich-brauche-hilfe-bei-beweisen-bezuglich-normen?show=21590#a21590

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vielen dank :) und nein ich habe das noch nicht gemacht. habe mir nur die alten aufgaben angeschaut.

Answer 1

Hi,
Du musst die drei Eigenschaften
$$ (1) \quad \|f\|_1 = 0  \Rightarrow f = 0 $$
$$ (2) \quad \|\alpha\ \cdot f \| = |\alpha| \cdot  \|f\|$$
$$ (3) \quad \| f + g \| \le \|f\|  + \|g\| $$
(1) gilt für stetige Funktionen, denn wenn \( f(x_0) \ne 0 \) gelten würde für ein \( x_0 \in [0,1] \), gäbe es eine ganze Umgebung \( \text{U} \) von \( x_0 \) für die \( f(x) \ne 0 \) gelten würde, für alle \( x \in \text{U} \), und damit wäre \( \| f \| \ne 0 \)
(2) folgt aus der Eigenschaft des Betrages und (3) auch.