Question

Weisen Sie nach, dass jede symmetrische 2 mal 2 Matrix

A=

a	b
b	c

reelle Eigenwerte besitzt, falls a,b und c selbst reell sind. Gilt diese Eigenschaft auch, falls a,b und c beliebige komplexe Zahlen sind?

Answer 1

Du musst ja für die Eigenwert betrachten  det ( A - x*E ) = 0

das wäre  (a-x)*(c-x) - b^2 = 0

     gibt die Gleichung

              x^2 - (a+c)*x + ac - b^2 = 0     #

und die Diskriminante ( also das was in der pq-Formel unter der Wurzel steht ) ist

(a+c)^2 / 4   - ac + b^2 und das gibt  c^2/4 + a^2 / 4 + b^2  und wenn nicht alle

drei Variablen 0 sind, ist das positiv, also hat   # 2 reelle  Lösungen, also

2 reelle Eigenwerte.