die angegebenen Mengen stehen in "Kurzschreibweise":
1)
{\( \begin{pmatrix} 2a \\ a \\ b \end{pmatrix}\)} = {b • \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) + a • \( \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) }, also der von der Basis { \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) , \( \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)} erzeugte Unterraum von ℝ3 (lineare Hülle). Analog ist
{\( \begin{pmatrix} a \\ a \\ b \end{pmatrix}\)} = {b • \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ b \end{pmatrix}\) + a • \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)} , also der von der Basis { \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) , \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)} erzeugte Unterraum von ℝ3
2)
U1 ∩ U2 = { b • \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)} mit der Basis { \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)},
weil aus \( \begin{pmatrix} 2a \\ a \\ b \end{pmatrix}\) = \( \begin{pmatrix} a \\ a \\ b \end{pmatrix}\) → a = 0
3)
Es gilt dim(U1 + U2) = dim(U1) + dim(U2) - dim(U1 ∩ U2) = 3 → U1 + U2 = ℝ3
gesuchte Basis = { \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) , \( \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) , \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)}
(Das Spatprodukt der 3 Vektoren ist ≠ 0 → die 3 Vektoren sind linear unabhängig)
Gruß Wolfgang