kongruenzklassen gruppenoperation

Question

Aufgabe:

Sei n ∈ ℕ. Bestimmen Sie die Bahnen der folgenden Operation der Gruppe ℤ auf der Menge X = ℤ (zufällig gleich!):

ℤ × X → X

(a, x) ↦ an + x

Weisen Sie zunächst nach, dass es sich um einen Gruppenoperation handelt. Finden Sie eine gute Beschreibung des Bahnenraums.

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe bitte helfen?

Mein Ansatz ist bisher nur dass  Geuppenoperationen zwei Kriterien erfüllen müssen. Zum einen dass die Verknüpfung assoziativ sein soll und zum anderen dass das neutrale Element existieren muss.

Weiter komme ich nicht, ich weiß nicht wie ich an die Aufgabe rangehen soll.

Answer 1

> Zum einen dass die Verknüpfung assoziativ sein soll

Also bn + (an + x) = (bn + an) + x für jedes a,b,x ∈ ℤ.

> und zum anderen dass das neutrale Element existieren muss.

Es muss nicht nur existieren. Es muss gleich dem neutralen Element der Gruppe sein. Es muss also 0n + x = x für jedes x ∈ ℤ gelten.

Answer 2

Mein Ansatz ist bisher nur dass  Geuppenoperationen zwei Kriterien erfüllen müssen. Zum einen dass die Verknüpfung assoziativ sein soll und zum anderen dass das neutrale Element existieren muss.

Weiter komme ich nicht, ich weiß nicht wie ich an die Aufgabe rangehen soll.

Ist es nicht so, dass du hier nur einen Teil der  Gruppenaxiome zitierst ?
Ich meine:  "Operation " heißt ( Ich nenne die jetzt mal f )
und die Gruppe ist ja ( Z , + )  ;  denn ( Z ; * ) ist ja keine Gruppe.
1.    f ( 0,x)  =  x    für alle  x aus Z 
2.  f(  a+b , x ) = f ( a,  f(b,x) )  für alle a,b , x   aus Z
(So findest du es etwa dort: http://www.mathematik.tu-dortmund.de/~swagner/ak1213/akskript4.pdf

Das wäre hier:    Sei also n aus N
 zu 1.   Sei x aus Z dann gilt nach Def. von f    f( 0,x) = 0*n+x = x  stimmt also
zu 2. Seien x, a,b aus Z dann gilt  f ( a+b,x)       (nach Def. von f)
                              = ( a+b) * n + x             ( Distributivges. in Z )
                              = a*n  +  bn +  x           2x Def. von f anwenden:
                              =  a*n + f(b,x)           
                              = f ( a,  f(b,x) )         stimmt also
Also ist f eine Op. von (Z,+) auf der Menge Z.

Über die Bahnen muss ich noch etwas nachdenken.

Und für ein gegebenes n besteht die Bahn zu einem x aus Z aus allen  f ( a,x ) mit a aus (Z,+) . Das sind alle, die sich als   a*n + x schreiben lassen. Also alle, die bei der Division durch n den Rest x haben. Das ist dann quasi die Restklasse mod n .