A symmetrisch und positiv definit.

Question

Sei \(A=\){\(a_{ij}\)}\(_{i,j=1}^n \in \mathbb{R}^{nxn}\) symmetrisch und positiv definit. Beweise:

a.) A ist regulär

b.) \(a_{ii}>0 \) i=1,....,n

c.) Alle Eigenwerte von A sind reell und strikt positiv

Answer 1

Hi,

Zu (a)

Wenn \( A \) symmetrisch und positiv definit ist gibt es eine invertierbare Matrix \( T \) mit \( T^{-1} A T = D \) und \( D \) ist diagonal mit \( d_{ii} > 0 \). D.h. es gilt \( A = T D T^{-1} \) und \( A^{-1} = T D^{-1} T^{-1} \) \( D^{-1} \) ex., weil \( d_{ii} > 0 \)  gilt. Für die Matrix \( D^{-1} \) gilt \( (D^{-1})_{ii} = \frac{1}{d_{ii}} \), d.h. \( A \) ist regulär.

Zu (b)

Da \( A \) positiv definit ist, gilt \( x^T A x > 0 \) für alle \( x \) also auch für den i-ten Einheitsvektor. D.h. \( A_{ii} = e_i^T A e_i > 0 \)


Zu (c)

Ähnliche Matrizen haben gleiche Eigenwerte und die Eigenwerte von \( D \) sind größer als Null und \( D \) ist ähnlich zu \( A \)