Zeigen Sie, dass (Zm; +), die Menge Zm der Restklassen mod m zusammen mit der Addition eine abelsche Gruppe ist.

Question

Hey zu obiger Frage suche ich nach einer Erklärung.

Ich habe absolut keine Ahnung, wie ich das angehen soll, bzw. was man als Beweis angibt.

Answer 1

Dazu musst du erst mal ein Addition für Restklassen definieren.

Macht meistens so:    Ist A die Klasse aller a aus Z, die bzgl m den gleichen Rest haben

und B die Klasse aller b aus Z, die bzgl m den gleichen Rest haben

dann ist A+B die Klasse aller x aus Z, die bzgl. m den gleichen Rest wie a+b mit irgendeinem

a aus A und einem b aus B.

Dann musst du erst mal zeigen, dass das wohldefiniert ist, also das Erg. wirklich

nicht von der Wahl von a und b abhängt.

Dann musst du mit dieser Def. zeigen, dass für drei Klassen immer gilt

( A +B ) + C =   A +(B  + C)

und es ein neutrales El. gibt, das ist die Klasse, die m bzw. 0 enthält

und zu jeder Klasse gibt es eine inverse, die findest du auch:

wenn bei A alle den Rest r haben, dann ist die Klasse, bei der alle den

Rest m - r haben die inverse.