Nullstelle bestimmen, Hilfe

Question

um eine (oder mehrere) Nullstelle(en) bestimmen zu können, muss man doch die Ausgangsfunktion gleich Null setzen, aber ich weiß nicht wie ich dies machen soll bei Funktionen mit einem Exponent höher als 3... Zum Beispiel bei der Funktion f(x)=x^4-8x^3+18x^2. Kann mir jemand helfen

Answer 1

 f(x)=x⁴-8x³+18x²= x²(x²-8x+18)      -> x1=0

Klammer mit pq-Formel lösen ergibt zwei komplexe Nullstellen.

Die Nullstellen der Funktion sind x1=0 x2,3=4±√2 i

Die Beispielfunktion bietet neben 0 nur komplexe Nullstellen.

Wolltest du auf die komplexen zahlen hinaus oder auf reelle Nullstellen?

Comments

>  Die Nullstellen der Funktion sind x1=0 x2,3=4±√2 

Die Nullstellen der Funktion sind x₁=0  ,  x_2,3 = 4 ± √2 • i  (!)

wenn man nicht ℝ sondern die Menge ℂ der komplexen Zahlen als Grundmenge hat

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Tippfehler! Danke für den Hinweis ;-)

Answer 2

Hallo Lana,

x⁴- 8x³+18x² = 0

⇔  x² • (x² - 8x + 18) = 0

Ein Produkt ist genau dann gleich 0, wenn mindestens einer der Faktoren gleich 0 ist:

⇔   x = 0   oder x² - 8x + 18 = 0

x² - 8x + 18 = 0

x² + px + q = 0

pq-Formel:  p = - 8  ; q = 18

x_1,2 = - p/2 ± \(\sqrt{(p/2)^2 - q}\)

x_1,2 = 4 ± \(\sqrt{(4)^2 -18}\)   [ = 4 ± i • √2  , also komplexe Zahlen ]

Wegen der negativen Zahl unter der Wurzel gibt es keine weiteren reellen Lösungen.

x = 0 ist also die einzige reelle Lösung

Gruß Wolfgang

Comments

Also man kann immer ausklammern? So wollte ich es anfangs auch machen, war mir letztendlich aber nicht sicher und ließ es

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leider kann man nur ausklammern, wenn keine Zahl ohne x dasteht.

Bei  x³ + 3x² - 5x + 1 = 0  würde man z.b. die Lösung x=1 durch Probieren finden und die Gleichung durch eine Polynomdivision durch x-1  auf eine quadratische Gleichung reduzieren.

Bei x³ + 3x² - 4x + 7 = 0  würde man z.B. eine numerisches Näherungsverfahren anwenden.