Bestimmung Orthogonalbasis

Question

Kann mir jemand an einem Beispiel zeigen wie man eine orthogonalbasis bestimmt mit den vier einheitsvektoren b= {e_1, e_2,e_3,e_4}

A=  1 1 0 3

       0 0 1 1

       2 4 3 1

      0 2 0 2

Answer 1

https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren#Algorithmus_des_Orthonormalisierungsverfahrens

Die Vektoren w1, w2, w3, w4 sind die Spalten der Matrix und die

Vektoren v1  v2  v3   v4 sind deine gesuchten Einheitsvektoren.

zur Kontrolle:

http://m.wolframalpha.com/input/?i=gram+schmidt+{{1%2C1%2C0%2C3}%2C{0%2C0%2C1%2C1}%2C{2%2C4%2C3%2C1}%2C{0%2C2%2C0%2C2}}&x=0&y=0

Comments

braucht man also für die Bestimmung einer orthogonalbasis nicht die einheitsvektore. ??
Und bei Wolfram kommt eine Matrix raus sind das dann die orthogonal Basen ?

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braucht man also für die Bestimmung einer orthogonalbasis nicht die einheitsvektore. ??

Nein, die will man ja gerade bestimmen

Und bei Wolfram kommt eine Matrix raus sind das dann die orthogonal Basen ?

Die Spalten dieser Matrix sind die gesuchten Einheitsvektoren.

Einfacheres Beispiel mit nur 2 Komponenten findest du auf

der genannten Wikipedia-Seite.

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Ah ok super danke aber hab noch eine Frage die spaltenvektoren der Matrix A im Beispiel sind ja die in wikipedia w_1,w_2.....? Oder

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siehe meine Antwort:

Die Vektoren w1, w2, w3, w4 sind die Spalten der Matrix und die...

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Ok danke kannst du mir vielleicht auch sagen wie man eine orthogonalbasis bestimmt wo bei nur bestimmte Werte auf der Diagonalen auftreten sollen?

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Mach mal ein Beispiel.

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das soll eine teilaufgaben von oben sein. Bestimme eine orthogonalbasis, sodass nur die Werte 1,-1,0 auf der Diagonalen auftreten

ich hoffe du hast eine Idee wie das funktionieren könnte

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wenn du eine Orthonormalbasis hast, brauchst du nur die

Spalten jeweils mit einem geeigneten Faktor zu multiplizieren,

dass 1 oder -1 in der Diagonale  rauskommt.

Das geht nur bei 0 nicht, aber 0 darf es ja auch sein.

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Ich brauche eine Orthognalbasis keine orthonormal

Oder ist das das gleiche ??

wie meinst du das ich muss die Spalten mit einem Faktor multiplizieren?

Von was die Spalten von der Matrix A oder die Spalten von der Orthogonalbasis das schon berechnet wurde

Und es sind auch nur 3 werte braucht man nicht 4 werte um das zu machen oder was ist der vierte wert :/

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Ich brauche eine Orthognalbasis keine orthonormal

Sag ich doch.

Wenn z.B. die 1.  Spalte bei deiner orthonormaen Basis ist

1/ √2

1/ √2

0

0

Dann hat der Spaltenvektor ja die Länge 1

(deshalb NORMAL)

Wenn du alles mal  √2 nimmst, hast du

1

1

0

0

Das hat jetzt zwar nicht mehr die Länge, aber immer noch

mit allen anderen das Skalarprodukt 0, also

ORTHOGONAL zu den anderen aber nicht mehr

in einer orthonormalen Basis.

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Das verstehe ich aber jetzt nicht was du damit meinst mit der Länge

Wo stehen denn dann die Werte die rauskommen müssen tut mir leid dass ich so viel frage