Lineare Unabhängigkeit in F_11

Question

Hi,

Ich möchte die lineare (Un-)abhängigkeit von 4 vektoren aus dem Körper F_{11 prüfen:}

s₁=(0,2,-3,1) s₂=(1,0,4,5)  s₃=(1,3,-1,7)  s4=(-5,2,-4,1)

<sub>Meine Idee:
1. In Gauss umformen
2. versuchen die reduzierte Zeilenstufenform zu erreichen
3. Falls am Ende eine Nullzeile 0 = 0 existiert, bedeutet das, dass die vektoren linear abhängig sind.</sub>

Dazu bleibe ich, bei der Berechnung des Gauss, vorläufig in ℚ und forme erst am Ende in F₁₁ um.

Mein Problem: Ich erreiche mit meinem Gauss immer wieder die red. ZSF, laut Lösung sind die vektoren jedoch lin. abhängig.

Comments

Oh, ich sehe grade selber, dass ich die 88 = 0 komplett überlesen habe...

Answer 1

   Du hast bereits übersehen 11 = 0

Comments

Was ohne Folgen bleibt.

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   Ich antworte dir nochmal ausführlich; der Vorteil des modulo Rechnens besteht gerade darin, dass eine Zahl mod 11 dem Betrage nach nicht größer sein darf als 5 .

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     Sooo wird das nichts; weißt du, wozu ich dir raten würde? Mach dir erst mal eine gescheite Multiplikationstabelle mod 11 .

         |   2   |   3   |   4  |   5  |
         |-------------------------------------------------
      2 |  +4  |  -5  |  -3  |  -1  |  
-------------------------------------------------------------
      3 |  -5   |  -2  |  +1 |  +4 |
--------------------------------------------------------------------
      4 |  -3  |  +1  |  +5 |  -2  |
-------------------------------------------------------------------------
      5 |  -1  |  +4  |  -2  |  +3 |





    


         x1  +  5  x2   -  4 x3  +      x4  =  0              (  1a  )
                      x2   +     x3   -  5  x4  =  0             (  1b  )     
     3  x1  -  4  x2   +     x3  +  4  x4  =  0             (  1c  )
     2  x1                + 3  x3  +  2  x4  =  0            (  1d  )

 



   Ich habe das LGS so umgeordnet, dass x1 vorkommt in ( 1a ) bzw. x2 in ( 1b ) Inzwischen habe ich jedoch ein wenig experimentiert mit ( 1a-d ) ; in der Tat stellt sich heraus, dass s1, s3 und s4 für sich genommen bereits linear abhängig sind:

        x1  -  4 x3  +     x4  =  0   |  :  x4                           (  2a  )
                    x3  -  5  x4  =  0   |  :  x4                           (  2b  )     
    3  x1  +    x3  + 4  x4  =  0   |  :  x4                           (  2c  )
    2  x1  + 3  x3 + 2  x4  =  0   |  :  x4                           (  2d  )

     X1  :=  x1 / x4  ;  X3  :=  x3 / x4     ( 2e )

Obiger pfifiger Divisionsalgoritmus ist mein Spezialpatent; er verringert die Anzahl der Unbekannten. Das GS bleibt ja linear, weil rechts Null steht.



        X1  -  4  X3   =  (  -  1  )                      (  3a  )
                      X3  =  5                                (  3b  ) 
    3  X1  +      X3  =  (  -  4  )                      (  3c  )
    2  X1  +  3  X3  =  (  -  2  )                      (  3d  )

     In ( 3b ) steht schon X3 = 5 ; dann folgt aber  aus ( 3a ) X1 = ( - 3 )  ( 3c ) gilt sogar wörtlich auf |Z