Gleichung der Parabel 4. Ordnung mit 2 'Schnittpunkten' berechnen!

Question

Hei Leute!

Ich habe hier folgende Aufgabe:

Eine Parabel der 4. Ordnung hat in H (2/0) einen Hochpunkt und in P(0/-2) einen Sattelpunkt. Bestimme die Gleichung der Parabel.

Daraus bekommt man für den HP:

f(2) = 0                16a + 8b + 4c + 2d + e = 0

f'(0) = 0                                           d        = 0

f'' (0) > 0                                 2c               > 0

Und für den SP:

f(0) = -2                                                  e = - 2

f'(0) = 0                                            d        = 0

f'' (0) = 0                                  2c               = 0

Dann kann man ja c, d und e einsetzen und kommt auf folgende Gleichung:

16a + 8b - 2 = 0

Und jetzt? Wie bekomme ich a und b? Wäre wirklich froh, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte..

Answer 1

Versuch's mal mit

f(2) = 0
f'(2) = 0
f(0) = -2
f'(0) = 0
f''(0) = 0

Dann kommst du auf das richtige Gleichungssystem.

> f'' (2) > 0

Das ist falsch. Zum Beispiel hat f(x) = -(x-2)⁴ bei H(2|0) einen Hochpunkt. Trotzdem ist f''(2) = 0.

Answer 2

Eine Parabel der 4. Ordnung hat in H \((2|0)\) einen Hochpunkt und in P\((0|-2)\) einen Sattelpunkt. Bestimme die Gleichung der Parabel.

P\((0|-2)\) ↑  P'\((0|0)\) Dreifachnullstelle:

\(f(x)=ax^3(x-N)=a(x^4-Nx^3)\)

\(f'(x)=a(4x^3-3Nx^2)\)

H\((2|...)\) waagerechte Tangente:

\(f'(2)=a(32-12N)=0\)

\(N=\frac{8}{3}\):

\(f(x)=a(x^4-\frac{8}{3}x^3)\)

H \((2|0)\) ↑ H´\((2|2)\):

\(f(2)=a(16-\frac{64}{3})=-\frac{16}{3}a=2\)

\(a=-\frac{3}{8}\):

\(f(x)=-\frac{3}{8}(x^4-\frac{8}{3}x^3)\) ↓

\(p(x)=-\frac{3}{8}(x^4-\frac{8}{3}x^3)-2\)