Polynomfunktion 4.grades

Question

Was ist denn die Lösung bzw.Begründumg von folgendem Beispiel?

Answer 1

Nr. 10)

Falls es zwei lokale Tiefpunkte gibt, muss es zwangsläufig auch mindestens einen Hochpunkt geben.

Es bedarf also mindestens drei möglicher Extrema!

Ableitung einer Funktion 2. Grades: f '(x)=  2ax+b    -> maximal ein Extremum möglich

Ableitung einer Funktion 3. Grades: f '(x)=3ax²+2bx+c  -> maximal zwei Extrema möglich

Ableitung einer Funktion 4. Grades: f'(x)= 4ax³+3bx²+cx+d -> maximal 3 Extrema möglich

Eine Funktion muss also den Grad 4 haben, um 2 lokale Tiefpunkte und einen Hochpunkt zu haben.

Comments

Genau genommen gilt das nur, wenn der Definitionbereich gleich ℝ ist.

Ansonsten kann sogar eine Parabel 2. Ordnung sn den Randstellen zwei lokale Tiefpunkte haben (global schließt lokal nicht aus)

Answer 2

Zwei Tiefpunkte nebeneinander geht ja nicht. Zwischen zwei Tiefpunkten muss sich immer ein Hochpunkt befinden. Damit hat man mind. 3 Extrempunkte und damit muss es mind eine Funktion von Grad 4 sein.