Termdarstellung der Polynomfunktion 4.Grades ermitteln

Question

Aufgabe:

Der Graph einer Polynomfunktion f mit f(x) = ax^4+ bx+ c geht durch den Punkt P= (1|2) und besitzt den Tiefpunkt T=((1/2)|(5/8)). Ermittle eine Termdarstellung der Funktion f!

Comments

Du hast in den letzten Stunden mehrere solche Aufgaben gestellt. Wie würde mittlerweile Dein Lösungsansatz für diese Aufgabe aussehen?

Answer 1

Aloha :)

Die Gesuchte hat die Form:$$f(x)=ax^4+bx+c$$Wir wissen, dass die Funktion einen Tiefpunkt bei \(x=1/2\) hat. Daher ist ihre erste Ableitung an dieser Stelle gleich Null:$$0=f'\left(\frac{1}{2}\right)=\left[4ax^3+b\right]_{x=1/2}=\frac{a}{2}+b\quad\Rightarrow\quad b=-\frac{a}{2}$$Damit entfernen wir die Unbekannte \(b\) aus der Funktion:$$f(x)=ax^4-\frac{a}{2}x+c$$Mit dem Punkt \(P(1|2)\) ermitteln wir die Unbekannte \(c\):$$2=f(1)=a-\frac{a}{2}+c=\frac{a}{2}+c\quad\Rightarrow\quad c=2-\frac{a}{2}$$Damit reduziert sich die Funktion auf:$$f(x)=ax^4-\frac{a}{2}x+2-\frac{a}{2}$$Die letzte Unbekannte \(a\) folgt aus dem letzten punkt \(P(1/2|5/8)\):$$\frac{5}{8}=f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{a}{16}-\frac{a}{4}+2-\frac{a}{2}=2-\frac{11}{16}a\quad\Rightarrow\quad\frac{11}{16}a=\frac{11}{8}\quad\Rightarrow\quad a=2$$Damit lautet die Gesuchte:$$f(x)=2x^4-x+1$$

~plot~ 2x^4-x+1 ; [[-1,2|1,3|-0,5|3]] ~plot~

Answer 2

f(1)=2

f(0.5)=0.625

f'(0.5)=0

Drei Gleichungen, drei Unbekannte.

$$f(x) = ax^4+ bx+ c$$

$$ f'(x)=4ax^3+b $$

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$$f(1)=2\Rightarrow a+b+c=2~~~~~(I)$$

$$f(0.5)=0.625\Rightarrow 0.0625a+0.5b+c=0.625~~~~~(II)$$

$$f'(0.5)=0 \Rightarrow 0.5a+b=0~~~~~(III)$$

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$$ (I)-(II)~~~~~0.9375a+0.5b=1.375~~~~(IV) $$

$$0.5a+b=0~~~~~(III)$$

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$$ 2\cdot(IV) ~~~~~1.875a+b =2.75~~~~~(V)$$

$$ -(III)~~~~~ -0.5a-b=0~~~~~(VI)$$

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$$ (V)+(VI)~~~~~ 1.375a=2.75~~~~~|:1.375 $$

$$ a=2 $$

$$ a=2 \text{ in } (III): ~~~~0.5\cdot2+b=0 \Rightarrow b=-1 $$

$$ a; b \text{ in } (I): ~~~~2-1+c=2\Rightarrow c=1 $$

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$$ f(x)=2x^4-x+1$$

Answer 3

Der Graph einer Polynomfunktion f mit f(x) = ax4+ bx+ c geht durch den Punkt P= (1|2) und besitzt den Tiefpunkt T=((1/2)|(5/8)). Ermittle eine Termdarstellung der Funktion f!

f(1)=2

f(1/2) = 5/8

f '(1/2) = 0