Die Termdarstellung der Funktion durch die lokalen Extrema ermitteln

Question

Aufgabe:

Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 3 nimmt lokale Extrema in den Punkten E=((-1/2)|-3) und F=((-1/2)|3) an. Ermittle eine Termdarstellung der Funktion f!

Answer 1

Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 3 nimmt lokale Extrema in den Punkten E=((+1/2)|-3) und F=((-1/2)|3) an.

Ich vermute, dass dir ein Vorzeichenfehler unterlaufen ist.

$$ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$

$$ f'(x)=3ax^2+2bx+c$$

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$$ f(0.5)=-3=0.125a+0.25b+0.5c+d ~~~~~(I)$$

$$ f(-0.5)=3=-0.125a+0.25b-0.5c+d ~~~~~(II)$$

$$ f'(0.5)=0=0.75a+b+c ~~~~~(III) $$

$$ f'(-0.5)=0=0.75a-b+c ~~~~~(IV)$$

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$$ (I)-(II):~~~-6=0.25a+c ~~~~~~(V)$$

$$ (III)-(IV):~~~~~0=2b \Rightarrow b=0 $$

$$ (III)+(IV):~~~~~0=1.5a+2c ~~~~~~(VI)$$

$$ -2\cdot(V)+(VI):~~~~~12=a$$

$$ \ldots \Rightarrow c=-9; d=0 $$

$$ f(x)=12x^3-9x$$

Answer 2

Eine Funktion, die bei -1/2 zwei verschiedene Werte annimmt,

gibt es nicht.