a) Du kannst hier nicht mit dem gewöhnlichen Kriterium der Ableitung heran gehen, weil die Betragsfunktion nicht differenzierbar ist.
Du kannst aber folgende Tatsache ausnutzen:
|c-x| + |x-a| = |c-a|
Dass das so ist kann man sich z.B. bildlich veranschaulichen.
|c-x| ist der Abstand zwischen c und x, |x-a| ist der Abstand zwischen x und a. Addiert ergeben sie (wenn x zwischen a und c liegt) genau den Abstand zwischen c und a, also |c-a|.
Damit erhältst du:
f(x) = |c-a| + |x-b| für a<x<c
Diese Funktion nimmt nun ihr Minimum an, wenn |x-b| ein Minimum annimmt. Da |x-b| immer größer oder gleich 0 ist, ist das genau die Stelle, an der |x-b|=0 gilt, also x=b.
Dort hat sie den Funktionswert f(b) = |c-a|
Für das Maximum gilt:
x = max{|c-a|+|a-b|, |c-a|+|c-b|}
Das hängt eben davon ab, von welchem Rand b weiter entfernt ist.
b) Hier sind alle vorkommenden Funktionen differenzierbar, also funktioniert das Ableitungskriterium:
f'(x) = (2(x-a)+2(x-c))/2√((x-a)²+(x-c)²)
Das ist offensichtlich genau dann 0, wenn der Zähler 0 ist aber der Nenner nicht.
0 = 2(x-a) + 2(x-c)
0 = x - a + x - c
2x = a+c
x = (a+c)/2
Setzt man das nun in den Nenner ein, erhält man nicht 0, also handelt es sich wirklich um einen Punkt mit f'(x)=0.
Um sich die zweite Ableitung zu ersparen kann man folgendes Argument nutzen:
Für x gegen ±∞ geht die Funktion stets gegen +∞, also muss der ermittelte Punkt ein lokales (und damit auch das globale) Minimum sein.
Die Funktion hat dort den Wert:
f((a+c)/2) = √((c/2-a/2)² + (a/2-c/2)²) = √(2)/2 * |a-c| = |a-c|/√2
Da die Funktion bei (a+c)/2 ihr einziges Minimum hat, ist sie vorher monoton fallend und danach monoton steigend, also kommen als globale Maxima nur die Ränder des Definitionsbereich in Frage:
f(a) = √(a-c)² = |a-c| = f(c)
Beide Funktionswerte sind gleich, also nehmen sie beide die Rolle des globalen Maximums ein.
