Asymptote für f(x)= x/(x-1)²

Question

als Ergebnis kommt eine horizontale Asymptote heraus bei y=0, da lim x gegen +- unendlich 0 ist.
Kann mir jemand bitte den Rechenweg erklären?
Danke.

Answer 1

Hi,

da brauchts eigentlich gar nicht zu rechnen.

Man darf direkt wissen -> Ist der Zählergrad < Nennergrad so haben wir eine waagerechte Asymptote mit y=0, also der x-Achse.

 

Weiterhin darf man wissen:

Zählergrad = Nennergrad -> Die Vorfaktoren der höchsten Potenzen entscheiden über die Lage der waagerechten Asymptote.

 

Zählergrad > Nennergrad -> es gibt keine waagerechte Asymptoten mehr. Ist der Zählergrad um genau 1 größer als der Nennergrad haben wir eine schiefe Asymptote (eine Gerade) etc etc.

 

Möchtest Du es dennoch "ausrechnen" so beachte folgendes:

lim_x->∞ x/(x-1)^2       kann umgeschrieben werden zu          lim_x->∞ x/x^2 = lim_x->∞ 1/x = 0

 

Grüße

Comments

"Weiterhin darf man wissen:

Zählergrad = Nennergrad -> Die Vorfaktoren der höchsten Potenzen entscheiden über die Lage der waagerechten Asymptote."

Kannst Du mir dazu bitte ein Beispiel posten?

3x^2/2x^2 =?
3/2

Danke

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Sry, war essen.

Das Beispiel hast Du richtig gelöst! ;)

 

Oder auch etwas weniger einsichtig:

lim_x->∞ 3x^2/(2x^2+2x+1) = 3/2

 

Die Asymptote liegt also bei y=3/2

 

Alles klar?

Answer 2

Hi, da gibt es nichts zu rechnen, der ganzrationale Anteil (das ist die Asymptote) dieser rationalen Funktion ist offensichtlich Null. Das sieht man schon daran, dass der Nennergrad größer als der Zählergrad ist.

Answer 3

f(x)= x/(x-1)² = x/(x^2 - 2x + 1)
|oben und unten *1/x, d.h. durch x (erlaubt, da x gross und sicher nicht 0)

= 1 / (x - 2 + 1/x)

für x gegen ± unendlich Limes 1 / (x - 2 + 1/x) = 1 / (->unendlich - 2 + 0) = 0

Deshalb ist y=0 horizontale Tangente von f(x)

Comments

Ich hab´s. Vielen Dank Euch allen.

Gruß