Eigentlich lässt sich ein Extrempunkt und ein Sattelpunkt schon an der Vielfachheit der Nullstellen erkennen.
Ist f'(x) eine gerade Vielfachheit einer Nullstelle, hat man eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel und damit einen Sattelpunkt.
Ist f'(x) = eine ungerade Vielfachheit einer Nullstelle, hat man eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel und damit einen Extrempunkt. Mithilfe des Vorzeichenwechselkriteriums, kann dann noch die Art des Extremum genannt werden.
Mache dir dazu auch Zunutzen, wie die Ganzrationalen Funktionen
f(x) = x^n
verlaufen.
Wie ist das, wenn n gerade ist und wie ist es wenn n ungerade ist?