Wann liegt Sattelpunkt oder Wende-/Terassenpunkt vor?

Question

wie merke ich, was von beidem vorliegt? (Bitte Erklärung für Dumme :D) Danke sehr LG

Answer 1

Ein Sattelpunkt ist ein Wendepukt mit waagerechter Tangente. Dort muss also die erste und die zweite Ableitung gleich Null sein. Wenn dann die dritte Ableitung an dieser Stelle ungleich Null ist, liegt der Sattelpunkt vor. Wenn die dritte Ableitung auch gleich Null ist, kann man keine eindeutige Aussage machen

Comments

Super, also dh. 1) Wenn beim Extrema in der 2ten Ableitung keine 0 raus kommt, liegt ein Extrema vor und wenn ja, liegt ein möglicher Wendwpunkt vor. 2) Wenn bei den Wendepunkten 0 in der 3ten Ableitung 0 raus kommt, liegt ein Sattelpunkt vor und wenn keine 0 raus kommt dann ein Wendepunkt ist das so richtig?

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Sorry ich meinte wenn f'''(x) ungleich 0 ist, liegt ein Satzelpunkt vor danke

Answer 2

Gehe bei solchen Überlegungen immer von dem aus, was du im Graphen siehst und leite die Eigenschaften der verschiedenen Punktarten gleich anhand des Graphen her. Es macht wenig Sinn, dass ohne Bezug zu einem Bild auswendig zu lernen. Am Ende einer Kurvendiskussion solltest du ja dann die Kurve anhand der gefundenen Eigenschaften zeichnen können.

Ein Terrassenpunkt ist ein Wendepunkt, in dem der Graph eine horizontale Tangente hat.

Answer 3

Eigentlich lässt sich ein Extrempunkt und ein Sattelpunkt schon an der Vielfachheit der Nullstellen erkennen.

Ist f'(x) eine gerade Vielfachheit einer Nullstelle, hat man eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel und damit einen Sattelpunkt.

Ist f'(x) = eine ungerade Vielfachheit einer Nullstelle, hat man eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel und damit einen Extrempunkt. Mithilfe des Vorzeichenwechselkriteriums, kann dann noch die Art des Extremum genannt werden.

Mache dir dazu auch Zunutzen, wie die Ganzrationalen Funktionen

f(x) = x^n

verlaufen.

Wie ist das, wenn n gerade ist und wie ist es wenn n ungerade ist?