Virusausbreitung Ḃ = 1/ (1+t)^3 * B?

Question

Bei der Bekämpfung der Ausbreitung eines Virus in einer Population nimmt die Aus-
breitungsgeschwindigkeit der Ansteckungen infolge der zunehmenden Entwicklung von
Antikörpern in der Population mit der Zeit ab. Dies lässt sich durch

Ḃ = 1/ (1+t)^3 * B

modellieren, wobei B(t) für die Gröÿe der von dem Virus befallenen Population zur Zeit t
steht. Nach Ausheilen der Infektion besteht Immunität gegen den Virus, die `Wachstumsrate' 1/(1 + t)^3 des Befalls B nimmt dadurch im Lauf der Zeit t immer weiter ab.
Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Virusausbreitung für einen Anfangsbestand
B(0) = B0 > 0 der befallenen Population. Überprüfen Sie, ob die Ausbreitung des
Schädlingsbefalls beschränkt bleiben wird.

Answer 1

Hi, es ist B(t) = B(0)*exp(1/2)*exp(-1/(2*(1+t)^2)) der zeitliche Verlauf
der Ausbreitung des Virus, der offenbar auf lange Sicht verschwindet.

Comments

Na, da muss ich mich berichtigen, der Befall strebt auf lange Sicht gegen B(0)*exp(1/2).

Answer 2

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27+%3D+1%2F+%281%2Bx%29%5E3+*+y

Ich schreibe das mit x und y:

y' = (1+x)^-3 * y        
Das ist eine separierbare Differentialgleichung
dy/dx = (1+x)^-3 * y

1/y *dy = (1+x)^-3 * dx

lny  = -1/2 (1+x)^-2  + C             |e^…

y = e^ (-0.5(1+x)^-2) * e^C
y = D *e^ (-0.5(1+x)^-2)
D bestimmen mit B(0) z.B.

B(0) = D*e^{-0.5}

B(0)*e^{0.5} = D

y=B(0)*e^{0.5}*e^ (-0.5/(1+x)^2)

Limes x gegen unendlich:

Grenzwert: B(0)*e^{0.5}*1 = B(0)*e^{1/2}

Comments

y' = (1+x)^3 * y

Das war nicht die Aufgabe!

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Habe ich gerade bemerkt und korrigiert. Danke.

D ist positiv, wenn auch B(x) immer > 0 war, ist die Integrationskonstante > 0.

Beispiel D=115 liefert den Grenzwert 115.

D ist also gerade der Grenzwert. Vgl.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=115*e%5E%28-0.5%281%2Bx%29%5E%28-2%29%29

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Hi, ich weiß nicht so recht, was Du nun damit sagen willst. Natürlich ist D der Grenzwert, weil im Grenzfall der Exponentialterm 1 wird. Allerdings muss D so beschaffen sein, dass B(0) = B(0) wird. Daher muss hier D = B(0)*exp(1/2) sein. Aber dies schrieb ich schon... stimmt da irgendwas nicht dran?

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@Anonym:
Ohne Rechenweg ist deine Antwort schlecht überprüfbar. Inzwischen sieht man, dass bei uns beiden dasselbe rauskommt...

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Hi, die Größe der von dem Virus befallenen Population zur Zeit t beträgt
B(t) = B(0)*exp(1/2)*exp(-1/(2*(1+t)^2)). Der blau markierte Anteil wird
für t = 0 zu 1, so dass B(t=0) = B(0) ist.