Wie lauten die 6 Augenzahlen der identischen Würfel? (Knobelaufgabe Stochastik)

Question

Aufgabe:

Bei einem Würfelspiel erhält der Spieler 5 identische sechsflächige Wurfel. Beim ersten Wurf würfelt er mit allen fünf Würfeln, beim zweiten mit vier, beim dritten mit drei und beim vierten mit zwei Würfeln.

Zeigen bei einem Wurf zwei der Würfel die gleiche Augenzahl, hat der Spieler verloren. Sind alle Augenzahlen jedoch verschieden, wird daraus die Summe gebildet. Der Spieler gevinnt, wenn er jeweils die gleiche Summe würfelt.

Über die Würfel ist Folgendes bekannt:

1. Alle sechs Augenzahlen sind positive ganze Zahlen.

2. Alle sechs Augenzahlen sind verschieden.

3. Die höchste Augenzahl ist 10.

4. Die Augenzahlsumme eines Würfels ist gerade.

5. Es ist möglich zu gewinnen.

Wie lauten die 6 Augenzahlen der identischen Würfel?

Answer 1

a) Damit Eigenschaft 5 erfüllt ist, darf die Summe der fünf kleinsten Werte die Summe der zwei größten Werte nicht übersteigen. Im Zusammenhang mit den Eigenschaften 1,2 und 3 sind diese Augenzahlen dann zwangsläufig

1,2,3,4,a,10 mit 5 ≤ a ≤ 9

die Augenzahlsumme in jedem der Würfe muss 10+a sein.

b) Wegen Eigenschaft 4 bleibt nur noch a=6 oder a=8.

c) Augensumme 18 ist mit drei Würfeln nicht machbar, daher ist a=6.

Damit sind die Würfel mit den Augenzahlen 1,2,3,4,6,10 bedruckt - zur Kontrolle nochmal die vier Summen:

1+2+3+4+6 = 16
1+2+3+10 = 16
2+4+10 = 16
6+10 = 16

Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist übrigens \( \frac{5 ! 4 ! 3 ! 2 !}{6^{14}} \approx 4.4 \cdot 10^{-7} \).