Matrix hermitesch, positiv definit

Question

wie geht man bei dieser Aufgabe vor ?

Comments

Diagonalisiere zunächst die gegebene Matrix. Du meinst vermutlich hermitesch?

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diagonalisieren ? ok. was kommt dann ?

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Sei also A = QDQ^-1, wobei D eine Diagonalmatrix ist. Man berechnet leicht eine Matrix W mit D = W². Betrachte nun H², wobei H := QWQ^-1 ist.

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meinst du nicht H=QW²Q^-1 ? Denn sonst würde es ja keinen Sinn machen, W² zu berechnen. Und was bringt diese Formel für H jetzt? Wie kommt man auf Q? D ist ja ( (3,0), (0,1)) richtig?

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Bis zu dem Diagonalisieren der Matrix habe ich das auch verstanden. Aber wie rechne ich dann weiter? Muss ich aus von den Eigenwerten die Eigenvektoren und deren Inversen Eigenvektoren bilden und dann diese beiden mit der Diagonalmatrix multiplizieren und schauen,dass ich am Ende die Matrix H^2 erhalte?

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Es ist H² = (QWQ^-1)² = (QWQ^-1)·(QWQ^-1) = QW(Q^-1Q)WQ^-1 = QWWQ^-1 = QDQ^-1 = A.

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Was ist dein W? Sind das die Werte die man als Eigenwerte für H^2 herausbekommt als Diagonalmatrix aufgeschrieben? Dann Q und Q^-1 sind das bei dir die Eigenvektoren zu den Eigenwerten bzw. das Inverse davon?

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\(D=\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix},W=\begin{pmatrix}1&0\\0&\sqrt3\end{pmatrix}\), d.h. \(W^2=D\).

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Währe dann Q die Matrix {{-1,1},{ -2-sqrt3,1}}^2?

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https://www.mathelounge.de/347352/beweisen-eine-hermitesche-positiv-definite-matrix-existiert

Und was ist der Unterschied zwischen Aufgabe a und b ich habe jetzt bei der b die Eigenwerte für H² ausgerechnet und die dazugeörigen Eigenvektoren aus den Eigenwerten die Diagonalmatrix erstellt und eine Matrix aus den Eigenvektoren sowie die Inverse Matrix davon. Oder ist das eigentlich bei a gefragt und bei b noch was anderes? 

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\(Q\) besteht aus den Eigenvektoren der gegebenen Matrix:, \(Q=\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix}\) und es gilt$$\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix}^{-1}.$$

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Ok das habe ich Aufgabenteil b  ausgerechnet. Kannst du mir dann vielleicht sagen was im Aufgabenteil b eigentlich berechnet werden muss? Und die hermitisch positive Matrix H müsste dann doch {{√2,1},{1,√2}}sein?

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Nein. Leider kann man nicht einfach komponentenweise die Wurzeln ziehen. Die gesuchte Matrix \(H\) berechnet sich nachdem die gegebene Matrix diagonalisiert wurde aus$$H=QWQ^{-1}=\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&0\\0&\sqrt3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix}^{-1}.$$Für dieses \(H\) sollte wie gewünscht \(H^2=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\) gelten.

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Die a müsste ich jetzt haben. Ich hab bei der b auch die Eigenwerte von H^2 ausgerechnet und die Eigenvektoren und dann mit der Matrix aus den Eigenwerten der Inversen und der Matrix H^2 die Diagonalmatrix ausgerechnet. Ist diese vorgehensweise bei der b so richtig?