Wann ist eine Matrix positiv definit?

Question

Aufgabe:

Matrix A = \( \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \)

Dann gilt?

1. Die Matrix A ist positiv definit

2 Produkt v^T Av ist für alle Vektoren v ∈ \( ℝ^{2} \), v≠0 positiv

3. Alle Eigenwerte von A sind positiv

Problem/Ansatz:

1 und 3 kann man ausschließen da die Eigenwerte nicht alle positiv sind

2. ist wahr, weil die Determinante positiv ist

ist das so richtig?

Answer 1

Die Eigenwerte sind \(3\pm \sqrt{2}\), also positiv.

Alle drei Aussagen sind wahr.

Comments

Ja, aber die Begründung für 2) in der Frage ist falsch.

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Die Begründung ist falsch;; denn bei 2. handelt es sich

um die eigentliche Definition der Positiv-Definitheit.

Es ist \(4x^2+2xy+2y^2=3x^2+(x+y)^2+y^2>0\), wenn

\(v=(x,y)\neq (0,0)\).

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Das wäre eine richtige Begründung, sagt aber nicht, ob und warum die Begründung ganz oben falsch ist.

Die Begründung ganz oben ist falsch, weil es Matrizen mit positiver Determinante gibt, die nicht positiv definit sind.

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Da hast du natürlich vollkommen Recht !