Koordinaten von Punkt C berechnen, der auf (AB) liegt. C ist 3 Einheiten von B entfernt.

Question

Betrachten Sie die Gerade k=(AB) durch die Punkte A(2|-3|12) und B(6|4|8). Der Punkt C liegt auf k 3 Einheiten von B entfernt. Dabei liegt B zwischen A und C. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes C.

Answer 1

Betrachten Sie die Gerade k=(AB) durch die Punkte A(2|-3|12) und B(6|4|8). Der Punkt C liegt auf k 3 Einheiten von B entfernt. Dabei liegt B zwischen A und C. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes C.

Statt Pfeilen und Spalten schreibe ich Vektoren fett.

AB = (4, 7, -4)

|AB| = √(16 + 49 + 16) = 9

BC hat die gleiche Richtung wie AB ist aber nur 1/3 so lang:

BC = 1/3 AB

Ortsvektor von C

0C = 0B + 1/3 AB = (6,4,8) + (4/3, 7/3, -4/3) = (7 1/3, 6 1/3, 6 2/3 )

Resultat C(7 1/3, 6 1/3, 6 2/3 )

Comments

In deinem Vektor AB ist ein Vorzeichenfehler bei z. Das sollte -4 lauten.

Die richtigen Koordinaten lauten:

[6, 4, 8] + 3 / |[6, 4, 8] - [2, -3, 12]| · ([6, 4, 8] - [2, -3, 12]) = [22/3, 19/3, 20/3] = [7+1/3, 6+1/3, 6+2/3]

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Danke. Deine Schreibweise mit dem + ist auch besser.

Answer 2

Hi ich führe die Rechnung mal vektoriell (fett)
durch und verzichte auf Zahlen. Dann ist

OC = OA + 3*AB / | AB | = OA + 3*(OB - OA) / | OB - OA | = ...

Answer 3

Die Gerade k lässt sich in Parameterform darstellen als Stützvektor + r * Richtungsvektor. 

Stützvektor = A (2|-3|12)

Richtungsvektor = B - A = (4|7|-4)

Also: 

k = (2|-3|12) + r * (4|7|-4)

 

Die Entfernung von B zu C beträgt 3 Einheiten, also

|C - B| = 3, d.h.

Wurzel aus [(x - 6)^2 + (y - 4)^2 + (z - 8)^2] = 3

(Pythagoras)

 

Die Koordinaten von C (x|y|z) eingesetzt in die Geradengleichung führen zu folgenden Gleichungen: 

2 + 4r = x

-3 + 7r = y

12 - 4r = z

 

Das nun wieder eingesetzt in die zweite fettgedruckte Gleichung: 

Wurzel aus [(2 + 4r - 6)^2 + (-3 + 7r - 4)^2 + (12 - 4r -8)^2] = 3

Wurzel aus [(4r - 4)^2 + (7r - 7)^2 + (-4r +4)^2] = 3

Wurzel aus (16r^2 - 32r + 16 + 49r^2 - 98r + 49 + 16r^2 - 32r + 16) = 3

Wurzel aus (81r^2 -162r + 81) = 3

Beide Seiten quadrieren ergibt:

81r^2 - 162r + 81 = 9

Also

81r^2 - 162r + 72 = 0 | :81

r^2 - 2r + 72/81 = 0

r^2 - 2r + 8/9 = 0

 

p-q-Formel: 

r1 = 1 + Wurzel aus (1^2 - 8/9) = 1 + 1/3 = 4/3

r2 = 1 - Wurzel aus  (1^2 - 8/9) = 1 - 1/3 = 2/3

 

r2 kann vernachlässigt werden, da B zwischen A und C liegen soll. 

 

Die Koordinaten von C lauten also: 

(2|-3|12) + 4/3 (4|7|-4) =

(6/3 + 16/3 | -9/3 + 28/3 | 36/3 - 16/3) =

(22/3 | 19/3 | 20/3)

Stimmt der Abstand zu B?

Wurzel aus [(22/3 - 6)^2 + (19/3 - 4)^2 + (20/3 - 8)^2] =

Wurzel aus [(22/3 - 18/3)^2 + (19/3 - 12/3)^2 + (20/3 - 24/3)^2]

Wurzel aus (16/9 + 49/9 + 16/9) = 

Wurzel aus 81/9 = 3 

Yep :-)

Comments

Gefiel dir die Antwort von Lu nicht oder hattest du die noch gar nicht gesehen?

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Wesentlich eleganter - und zeitsparender :-)) - wäre folgendes Vorgehen gewesen: 

1 mal den Richtungsvektor an A angesetzt ergibt B, also einen Abstand von 

Wurzel aus [4^2 + 7^2 + (-4)^2] = Wurzel aus (16 + 49 + 16) = 9

Wir wollen aber den Abstand 3 erhalten, also müssen wir 1/3 mal den Richtungsvektor an B ansetzen: 

(6|4|8) + 1/3 * (4|7|-4) = (22/3 | 19/3 | 20/3) = C

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Sorry, ich hatte sie wirklich noch nicht gesehen, weil ich die ganze Zeit mit meinen Rechenfehlern zu kämpfen hatte :-)

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Ist ja ein alternativer Lösungsweg!

Schön, dass man so jetzt zum gleichen C gelangt.