Ableitung per Differentialquotient von L(x) = a/(1+100e^-x)

Question

Hallo

Ich soll die Formel L(x)=a/(1+100e^-x) mit dem Differentialquotienten ableiten, dabei stehe ich vor dem Problem , dass ich irgendwann ein h im Nenner habe, dass blöderweise gegen 0 strebt. Ich bin wirklich für jede Art von Hilfe dankbar :)

Gruß

Answer 1

lim h→0

(a/(1 + 100·e^{- (x + h)}) - a/(1 + 100·e^{-x})) / h

Ich bringe das beides auf einen Hauptnenner

100·a·e^x·(e^h - 1)/(h·(e^x + 100)·(e^{x + h} + 100))

100·a·e^x·(e^h - 1)/(h·(e^x + 100)^2)

h = 1/n und dann lim n→∞

100·a·e^x·(e^{1/n} - 1)/(1/n·(e^x + 100)^2)

100·a·e^x·n·(e^{1/n} - 1)/(e^x + 100)^2

e = (1 + 1/n)^n für lim n→∞

100·a·e^x·n·(((1 + 1/n)^n)^{1/n} - 1)/(e^x + 100)^2

100·a·e^x·n·(1 + 1/n - 1)/(e^x + 100)^2

100·a·e^x·n·(1/n)/(e^x + 100)^2

100·a·e^x / (e^x + 100)^2

Fertig. Ich hoffe du kannst das nachvollziehen.

Comments

Schau dazu auch mal die Abbleitung via Differenzialquotient von e^x an.