Guten Tag liebe Mathefreunde,
die Aufgabe die ich zu bearbeiten habe, umfasst die Thematik: Konvergenz(-ordnung) und Fixpunkte. Zu diesem Zweck soll ich diverse Funktionen, welche schon als Iterationsfunktionen (phi(x)) gegeben sind auf ihre Konvergenzordnung (Grad der Konvergenz) bestimmen. Über die erste Ableitung der Iterationsfunktion, welche kleiner sein muss als 1 kann ich entsprechend eine Aussage über die Fixpunkte (anziehend bzw. abstoßend) machen. Hierbei soll ich ein entsprechendes Intervall angeben, bei einfacheren Funktionen verstehe ich dies auch.
z.B.
φ(x) = x die erste Ableitung ist φ´(x) =1 laut der Definition kann ich nun ein Intervall:
/φ´(x)/=/1/ < 1 ("wäre ein anziehender Fixpunkt") bzw. /φ´(x)/=/1/ >1 ("wäre ein abstoßender Fixpunkt") da die erste Ableitung genau einen Grenzfall (1=1) darstellt, handelt es sich hierbei weder um einen anziehenden bzw. abstoßenden Fixpunkt. Jeden Wert den ich als Startwert für eine entsprechende Iteration eingebe kommt als iterative Lösung wieder heraus.
Doch bei komplexeren Iterationsfunktionen komme ich nicht auf das entsprechende Intervall, um anschließend Aussagen über anziehenden bzw. abstoßenden Fixpunkt / Konvergenz zu treffen.
z.B.
φ(x) = (40/9)*(x-0,7)^2+0,8*x+0,08 die Ableitung wäre
φ´(x) = (40/3)*3*(x-0,7)^2+0,8 an dieser Stelle komme ich nicht weiter....
....Ich habe versucht die Funktion weiter zu vereinfachen. Da es sich hierbei um eine quadratische Funktion handelt habe ich versucht über die klassiche pq Formel ein Intervall zu bestimmen, doch auf die korrekte Lösung bin ich nicht gekommen.
Letztlich muss als Lösung ein Intervall von: ]0,578 ; 0,822[ bzw. /φ´(x)/=/2/ >1 (abstoßender Fixpunkt) herauskommen! Wie komme ich auf dieses Intervall, ich bin für alle Ratschläge dankbar.
Danke
