Taylorpolynom ausrechnen

Question

Kann mir jemand bitte erklären, wie ich Taylorpolynom  3.Ordnung für 3 Variablen herleiten kann ??

danke schon im voraus

Answer 1

Nutze die allgemeine Formel für die mehrdimensionale Taylorentwicklung.

Hier ist das ganze gut erklärt:

http://massmatics.de/merkzettel/index.php#!204:Das_mehrdimensionale_Taylorpolynom

Der einzige Unterschied ist, dass es bei 3 Variablen mehr Ableitungen und mögliche  Kombinationen gibt.

Entwicklungspunkt : (x₀,y₀,z₀)

f(x,y,z)= f(x₀,y₀,z₀)

             +f_x(x₀,y₀,z₀)*(x-x₀)+f_y(x₀,y₀,z₀)*(y-y₀)+f_z(x₀,y₀,z₀)*(z-z₀)

             +1/2*f_xx(x₀,y₀,z₀)*(x-x₀)^2+1/2*fyy(x₀,y₀,z₀)*(y-y₀)^2+1/2*fzz(x₀,y₀,z₀)*(z-z₀)^2

             +f_xy(x-x₀)*(y-y₀)+f_xz(x-x₀)*(z-z₀)+fyz(z-z₀)*(y-y₀)

             +1/6*f_xxx(x₀,y₀,z₀)+1/6*fyyy(x₀,y₀,z₀)+1/6*fzzz(x₀,y₀,z₀)

             +f_xyz(x₀,y₀,z₀)*(x-x₀)*(y-y₀)*(z-z₀)+1/2*f_xxy(x₀,y₀,z₀)*(x-x₀)^2*(y-y₀)

             +1/2*f_xxz(x₀,y₀,z₀)*(x-x₀)^2*(z-z₀)

             +1/2*fyyx(x₀,y₀,z₀)*(x-x₀)*(y-y₀)^2+1/2*f_yyz(x₀,y₀,z₀)*(z-z₀)*(y-y₀)^2

             +1/2*fzzx(x₀,y₀,z₀)*(z-z₀)^2*(x-x₀)

             +1/2*f_zzy(x₀,y₀,z₀)*(z-z₀)^2*(y-y₀)

Diese Formel gilt nur, falls der Satz von Schwarz erfüllt ist.(Ich hoffe, ich habe keinen Term vergessen)

Rot: Grad 0

Grün: Grad 1

Blau: Grad 2

Violett: Grad 3