Halbierungspunkt einer Strecke "herleiten." Nr. 1142

Question

''Herleitung''

Das Beispiel 1142 man soll zeigen das der halbierungspunkt m der Strecke ab gilt 

Comments

Schon die Schreibweise M = 1/2(A+B) ist schlimm. Vermutlich ist M=(x_m;y_m), A=(x_a;y_a), B=(x_b;y_b). Wenn man das einsetzt (natürlich in Spaltenschreibweise), dann kommt für x_m das arithmetische Mittel von x_a und x_b heraus und für y_m das arithmetische Mittel von y_a und y_b . Das ist genau genommen die Definition des Mittelpunktes.

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Warum soll die Schreibweise schlimm sein?! Aber trotzdem danke für die Antwort:)

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Warum soll die Schreibweise schlimm sein?!

Weil man in der Schreibweise Punkte P und Ortsvektoren OP klar unterscheiden sollte. Punkte kann man nicht addieren. 

OM = 1/2(OA+OB) 

Dann kannst du die Formel vektoriell "beweisen."

Nimm dafür als Definition von M: Dass der Punkt von den beiden Punkten A und B den gleichen Abstand hat und  auf der Verbindungsstrecke von A und B liegen soll. 

Noch besser: Stütz die Herleitung auf das, was in eurem Buch vorher steht. (Definitionen und Folgerungen darfst du benutzen). 

Answer 1

Der Mittelpunkt ergibt sich wenn wir von A aus die Hälfte des Richtungsvektors von A nach B gehen.

M = A + 1/2 * AB

mit AB = B - A

M = A + 1/2 * (B - A)

ausmultiplizieren

M = A + 1/2 * B - 1/2 * A

zusammenfassen

M = 1/2 * A + 1/2 * B

ausklammern

M = 1/2 * (A + B)

Schöner wäre es man würde hier ordentlich Vektorpfeile benutzen. Ich lasse es mal der Klarheit wegen weg. Außerdem ist es im Buch aus so gegeben.

Comments

was muss ich machen um die Formal so umzustellen, dass B oder A alleine steht?

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1/2 * (A + B) = M

A + B = 2 * M

A = 2 * M - B