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Sein S,T ⊂ Kp  zwei lineare Unterräume.  

Ich muss beweisen, dass die Summe von S und T ,

S+T := {x+y | x ∈ S und y ∈ T}

ein linearer Unterraum von Kp ist.


Ich würde mich sehr freuen wenn jemand mir hilfen könnte.

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1 Antwort

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Zeige dass S+T ≠ ∅ ist.

Seien p, q ∈ S+T. Zeige dass p+q ∈ S+T ist.

Sei v ∈ S+T und k ∈ K. Zeige dass k·v ∈ S+T ist.

Avatar von 107 k 🚀

Ja, Ich weiß die 3 Bedingungen, aber weiß nicht wie das für  mein Beispiel aussehen müssen.. Das ist ganz neu für mich. Trotzdem danke!

Es ist 0 ∈ S und 0 ∈ T weil S und T lineare Unterräume sind. Also 0+0 ∈ S+T. Also ist S+T ≠ ∅.

Seien a,b ∈ S+T. Ferner seien sa,sb ∈ S und ta,tb ∈ T so dass

        sa + ta = a und

        sb + tb = b.

Solche sa,sb,ta,tb existieren aufgrund der Definition von S+T. Dann ist

        a + b = (sa + ta) + (sb + tb) = (sa + sb) + (ta + tb)

wegen Assoziativgesetz und Kommutativgesetz in Kp.

Es ist (sa + sb) ∈ S, weil S ein linearer Unterraum ist und (ta + tb) ∈ T weil T ein linerarer Unterraum ist. Also ist a + b = (sa + sb) + (ta + tb) ∈ S+T.

Jaa, jetzt habe ich alles verstanden. :)

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