Es ist 0 ∈ S und 0 ∈ T weil S und T lineare Unterräume sind. Also 0+0 ∈ S+T. Also ist S+T ≠ ∅.
Seien a,b ∈ S+T. Ferner seien sa,sb ∈ S und ta,tb ∈ T so dass
sa + ta = a und
sb + tb = b.
Solche sa,sb,ta,tb existieren aufgrund der Definition von S+T. Dann ist
a + b = (sa + ta) + (sb + tb) = (sa + sb) + (ta + tb)
wegen Assoziativgesetz und Kommutativgesetz in Kp.
Es ist (sa + sb) ∈ S, weil S ein linearer Unterraum ist und (ta + tb) ∈ T weil T ein linerarer Unterraum ist. Also ist a + b = (sa + sb) + (ta + tb) ∈ S+T.